微分中值定理分為羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（統）稱為微分學基本定理、有限改變數定理或有限增量定理，是微分學的基本定理之一，內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。 羅爾中值定理[編輯] 主條目：羅爾定理 羅爾定理的幾何意義 如果函式滿足 在閉區間上連續； 在開區間內可導； 在區間端點處的函式值相等，即， 那麼在內至少有一點，使得。這個定理稱為羅爾定理。 拉格朗日中值定理及正式敘述[編輯] 主條目：拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的幾何意義 令為閉區間上的一個連續函式,且在開區間內可導,其中那麼在上存在某個使得 此定理稱為拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。 這個定理在一個更一般的條件下仍然成立。只需假設在連續,那麼在內對任意，極限 存在，為一個有限數字或者等於+∞或?∞.如果有限,則極限等於.定理的這個版本的應用的一個例子由從到的實值三次方根函式對映給出,其導數在原點趨於無窮。 注意若一個可導函式是復變數的而不是實變數的，上面敘述的這個定理就不正確了。例如,對全部實數定義。那麼 當時。 柯西中值定理[編輯] 柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它敘述為:如果函式f和g都在閉區間[a,b]上連續,且在開區間(a,b)上可導,那麼存在某個c∈(a,b),使得 柯西定理的幾何意義 當然,如果g(a)≠g(b)並且g′(c)≠0,這等價於: 在幾何上,這表示曲線 的影象存在平行於由(f(a),g(a))和(f(b),g(b))確定的直線的切線.但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線,因為可能存在一些c值使f′(c)=g′(c)=0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點似乎曲線根本沒有切線.下面是這種情形的一個例子 在區間[?1,1]上，曲線由(?1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t=0時。 柯西中值定理可以用來證明洛必達法則.(拉格朗日)中值定理是柯西中值定理當g(t)=t時的特殊情況. 參考資料：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86
微分中值定理分為羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，又（統）稱為微分學基本定理、有限改變數定理或有限增量定理，是微分學的基本定理之一，內容是說一段連續光滑曲線中必然有一點，它的斜率與整段曲線平均斜率相同（嚴格的數學表達參見下文）。 羅爾中值定理[編輯] 主條目：羅爾定理 羅爾定理的幾何意義 如果函式滿足 在閉區間上連續； 在開區間內可導； 在區間端點處的函式值相等，即， 那麼在內至少有一點，使得。這個定理稱為羅爾定理。 拉格朗日中值定理及正式敘述[編輯] 主條目：拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理的幾何意義 令為閉區間上的一個連續函式,且在開區間內可導,其中那麼在上存在某個使得 此定理稱為拉格朗日中值定理。拉格朗日中值定理是羅爾中值定理的推廣，同時也是柯西中值定理的特殊情形。 這個定理在一個更一般的條件下仍然成立。只需假設在連續,那麼在內對任意，極限 存在，為一個有限數字或者等於+∞或?∞.如果有限,則極限等於.定理的這個版本的應用的一個例子由從到的實值三次方根函式對映給出,其導數在原點趨於無窮。 注意若一個可導函式是復變數的而不是實變數的，上面敘述的這個定理就不正確了。例如,對全部實數定義。那麼 當時。 柯西中值定理[編輯] 柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它敘述為:如果函式f和g都在閉區間[a,b]上連續,且在開區間(a,b)上可導,那麼存在某個c∈(a,b),使得 柯西定理的幾何意義 當然,如果g(a)≠g(b)並且g′(c)≠0,這等價於: 在幾何上,這表示曲線 的影象存在平行於由(f(a),g(a))和(f(b),g(b))確定的直線的切線.但柯西定理不能表明在任何情況下不同的兩點(f(a),g(a))和(f(b),g(b))都存在切線,因為可能存在一些c值使f′(c)=g′(c)=0,換句話說取某個值時位於曲線的駐點;在這些點似乎曲線根本沒有切線.下面是這種情形的一個例子 在區間[?1,1]上，曲線由(?1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線;然而它有一個駐點(實際上是一個尖點)在t=0時。 柯西中值定理可以用來證明洛必達法則.(拉格朗日)中值定理是柯西中值定理當g(t)=t時的特殊情況. 參考資料：http://zh.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%AD%E5%80%BC%E5%AE%9A%E7%90%86