首先,我們得承認一個國際約定,那就是“長為1米,寬為1米的正方形的面積是1平方米”.
那麼,所有的面積就從這個最基本的約定開始.如果有別的約定,那我們再根據具體的約定去執行.
已經有約定了,那再結合實數的運演算法則,我們就開始求這些基本圖形的面積.
長方形（長為a米,寬為b米）：
將邊長為1米的正方形一邊變為原來的a倍,則面積變為（a×1）×1=a（平方米）,再將另一邊變為原來的b倍,則面積變為（a×1）×（b×1）=a×b（平方米）；
正方形（邊長為a米）：
當上述長方形的長=寬時的面積即為正方形面積a×a（平方米）；
平行四邊形（一邊長a米,這邊上的高為h米）：
我們知道,任意一個平行四邊形都可以補成一個面積與自身面積相等的長方形,且這個長方形的一邊長a米,另一邊（也就是平行四邊形的一高）長h米,所以,面積為a×h（平方米）；
三角形（一邊長a米,這邊上的高為h米）：
我們知道,任意一個三角形都可以補成三個面積是三角形面積兩倍的平行四邊形,且其中一個平行四邊形的一邊長a米,這邊上的高長h米,則這個平行四邊形的面積為a×h（平方米）,所以,三角形的面積為（a×h）÷2（平方米）；
梯形（上底a米,下底b米,高為h米）：
我們作出梯形的一條對角線,則梯形就被這條對角線分為兩個三角形,一個三角形的面積是（a×h）÷2（平方米）,另一個三角形的面積是（b×h）÷2（平方米）,加在一起得到梯形面積（a+b）×h÷2（平方米）；
圓（半徑為r米）：
我們把圓N等分,將這N等分點與圓心相連,則得到N個全等的扇形
每個扇形的圓心角為2π÷N
連線每個扇形的弧的端點,得到N個全等的等腰三角形,它們的腰長r米,設底邊的高為h米,頂角為2π÷N
圓的面積等於N個扇形面積的和,而當N不斷增大時時,每個扇形的面積就不斷接近它所對應的等腰三角形的面積,等腰三角形的高則不斷接近r米,等腰三角形的底邊不斷接近弧長2π÷N×r米
當N趨於無窮大時,每個等腰三角形的面積趨於（2π÷N×r）×r÷2（平方米）,N個相加得到圓的面積π×r²（平方米）
首先,我們得承認一個國際約定,那就是“長為1米,寬為1米的正方形的面積是1平方米”.
那麼,所有的面積就從這個最基本的約定開始.如果有別的約定,那我們再根據具體的約定去執行.
已經有約定了,那再結合實數的運演算法則,我們就開始求這些基本圖形的面積.
長方形（長為a米,寬為b米）：
將邊長為1米的正方形一邊變為原來的a倍,則面積變為（a×1）×1=a（平方米）,再將另一邊變為原來的b倍,則面積變為（a×1）×（b×1）=a×b（平方米）；
正方形（邊長為a米）：
當上述長方形的長=寬時的面積即為正方形面積a×a（平方米）；
平行四邊形（一邊長a米,這邊上的高為h米）：
我們知道,任意一個平行四邊形都可以補成一個面積與自身面積相等的長方形,且這個長方形的一邊長a米,另一邊（也就是平行四邊形的一高）長h米,所以,面積為a×h（平方米）；
三角形（一邊長a米,這邊上的高為h米）：
我們知道,任意一個三角形都可以補成三個面積是三角形面積兩倍的平行四邊形,且其中一個平行四邊形的一邊長a米,這邊上的高長h米,則這個平行四邊形的面積為a×h（平方米）,所以,三角形的面積為（a×h）÷2（平方米）；
梯形（上底a米,下底b米,高為h米）：
我們作出梯形的一條對角線,則梯形就被這條對角線分為兩個三角形,一個三角形的面積是（a×h）÷2（平方米）,另一個三角形的面積是（b×h）÷2（平方米）,加在一起得到梯形面積（a+b）×h÷2（平方米）；
圓（半徑為r米）：
我們把圓N等分,將這N等分點與圓心相連,則得到N個全等的扇形
每個扇形的圓心角為2π÷N
連線每個扇形的弧的端點,得到N個全等的等腰三角形,它們的腰長r米,設底邊的高為h米,頂角為2π÷N
圓的面積等於N個扇形面積的和,而當N不斷增大時時,每個扇形的面積就不斷接近它所對應的等腰三角形的面積,等腰三角形的高則不斷接近r米,等腰三角形的底邊不斷接近弧長2π÷N×r米
當N趨於無窮大時,每個等腰三角形的面積趨於（2π÷N×r）×r÷2（平方米）,N個相加得到圓的面積π×r²（平方米）