在我們寫出換元法的公式之前，我們先寫清楚它的作用區間。這個是數學的慣例，我們寫一個公式或者是定理或者是式子，都需要標明適用範圍。我們假設函式f(x)在區間[a, b]上連續。

函式x=φ(t) 滿足：

φ(α) = a, φ(β) = b

φ(t) 在區間[α, β]，或者[β, α]上具有連續導數，值域是[a, b]，那麼：

這個式子成立非常明顯，但為了嚴謹，我們還是來證明一遍。

等式的左邊很簡單就是我們常見的積分函式，我們假設f(x)在區間[a, b]上的原函式是F(x)，那麼等式左邊根據牛頓-萊布尼茨公式，可以得到：

所以我們重點關注的是等式右邊，等式右邊也做類似處理，我們假設Φ(t) = F[φ(t)]。

我們對Φ(t) 求導，可以得到：

透過求導我們可以發現， Φ(t) 是 f[φ(t)]*φ"(t)的原函式。所以：

所以我們就證明完了，整個證明過程並不難，比較困難的點在於我們在處理等式右邊的時候是怎麼想到令Φ(t) = F(φ(t))的呢？這是一個非常巧妙的點。想到這個不太容易，如果是我從頭開始證明，我可能會往Φ(t)的原函式上想，估計不太容易想到將F(x)引入進來。

我們理解了換元求解定積分的方法之後，我們一起來看一道例題來熟悉一下。這個例題還是經典的三角換元：

我們很容易想到我們可以令x = a sint，這樣的話 dx = a cost dt。當x=0時，t=0，當x=a時，t= π/2，我們代入原式可以得到：

明白了原理之後，我們也可以將換元公式反過來用。也就是說當我們湊到 t = φ(x) 的情況時，也一樣可以使用換元公式。