第一，他確實是最早將微積分發展成有效工具的人之一，擔得起微積分發明人的榮譽；第二，用微積分語言成功闡述物理規律，大大提高了數學在自然科學中的價值。不但證明伽利略的利用數學描述物理規律的思想是非常成功的，同時也讓後世的科學家意識到了數學的重要性。讓數學成為描述規律的工具的重要性，怎麼鼓吹都不為過；第三，反過來，將數學和物理成功結合又促進了數學家對物理學以及自然規律重要性的認識

牛頓有多牛？

E. T. 貝爾所著Men of Mathematics一書中列舉了三位史上最傑出的數學家：阿基米德、牛頓與高斯。

牛頓對數學的貢獻，不用說廣義二項式定理、牛頓恆等式、牛頓法（逼近函式的零點），也不用說立方面曲線分類，有限差分理論，丟番圖方程。

我們只說發明微積分！微積分！微積分！（和萊布尼茨同時期）

微積分是現代科學基礎中的基礎，現代科學正是因為微積分才真正建立起來，之前只能算科學的嬰兒期。現代數學，看起來繁雜無比，比牛頓時代發達很多，但解決問題，最終還是得靠微積分方程。

另外，萊布尼茲跟牛頓爭了大半輩子關於微積分的發明權，直到去世後幾年學術界還在爭執。但萊布尼茲是這樣評價牛頓在數學上的成就：

“在從世界開始到牛頓生活的時代的全部數學中，牛頓的工作超過了一半”。

我覺得大家的回答稍微有點跑題，提問是問牛頓如何透過微積分改變世界的。我的理解是，牛頓作為微積分奠基人之一，他的微積分在他後面的若干世紀裡成為自然科學最主要的工具之一，應該從這方面詳細解釋。