一個向量組要想構成一個向量空間的基，必須具備兩個條件，缺一不可：

1、該向量組本身是線性無關的。

2、向量空間中任何一個向量都能被該向量組線性表出。

因此上面兩條任意一條不成立都可以說明它不是向量空間的基。舉兩個例子：

這是因為

所以這4個向量之間是線性相關的，因而不能是一組基。

這是因為下面這個三維向量空間中的向量

就不能被上述兩個向量線性表出

n維空間的集一定是n個n維向量構成，且它們的行列式≠0。就這麼簡單，多了都是廢話。

所以判斷一組n個向量是不是基，就兩步：

1. 是不是每個向量都是n維？

2. 行列式是不是0？

稍微廢話幾句，n維向量少於n個，必然不能線性表示n維空間的所有向量，多於n個，必然存線上性相關。

行列式代表向量張開的空間（平行2n面體）的“超體積”，=0代表是“扁平”退化的，其必然線性相關從而缺失維度。

嚴格的說只需要第二個判別條件，第一條是被第二條隱含的。

這個提問真好，讓那群整天看地攤文學的貨看看什麼叫空間的維數！至於提問，很奇怪，任何線性代數里都有這個的判定定理吧？前面已經有回答了，不廢話了！

根據向量空間的基的定義，證明下面三個裡的任意一個成立就行。

1，向量組裡的向量線性有關。證明出這個，說明此向量組不是一個基，因為它不符合基的定義。

2，向量空間裡至少有一個向量，無法由組裡的向量生成。

3，向量組裡生成的某個向量，不在向量空間。