一、提出適度“非形式化”的重要意義
形式化是現代數學的特徵之一，這一點是無需置疑的。但不少數學家注意到目前中國的數學教學中存在著過度形式化的問題，往往將豐富多彩的數學的思想淹沒在形式化的海洋中，因此，提出了適度“非形式化”的觀點。這一觀點提出的另一理由，是一些數學家提出數學研究的方式正在發生著變化。
1．數學課程和數學教學中存在著過度形式化的現象
20世紀初，以希爾伯特為代表的形式主義學派盛極一時，數學的呈現形式是從一般的集合論開始，用公理體系、邏輯演繹規則展開。希爾伯特的形式主義哲學觀念，在學術上有重要的價值：數學的研究物件不是某個特定的物質形態，而是“思想材料”；數學是從所有自然現象和社會現象中抽象出來的數量規律。20世紀中葉，法國的布林巴基學派獨樹一幟，認為數學就是一些結構的組合，無所謂什麼實際意義。這種結構主義的哲學觀，把希爾伯特的形式主義哲學觀更向前推進一步。布林巴基學派把數學整理了一番，用“結構”把數學知識梳理成一個井然有序的體系，功不可沒。
但是，形式主義強調形式，結構主義把數學看成結構，其共同的問題是容易造成脫離現實。J.v. Neumann 先生早在1947年就說過：“遠離了它的實踐的源泉之後，或者太多‘抽象’的近親繁殖之後，數學學科就處在退化危險之中。在開始的時候，款式通常是經典的；當它有跡象表明成為巴洛克式時，那麼，危險的訊號就升起了。” R.Courant先生也針對此尖銳地指出：“兩千年來，掌握一定的數學知識已被視為每個受教育者必須具備的智力。數學在教育中的這種特殊地位，今天正在出現嚴重危機。不幸的是數學教育工作者對此應負其責。數學的教學逐漸流於無意義的單純演算習題的訓練。固然這可以發展形式演算能力，但卻無助於對數學的真正理解，無助於提高獨立思考能力。……忽視應用，忽視數學與其它領域之間的聯絡，這種狀況絲毫不能說明形式化方針是對的；在重視智力訓練的人們中必然激起強烈的反感”。
在哲學上，哥德爾的兩個不完備性定理，表明希爾伯特形式主義統一整個數學是不可能的。同時，數學在軍事、經濟、科學技術上的應用遠遠超出“結構”的限制。大約在1970年左右，世界各國的數學家把目光轉向“現實世界”，關注現實的數學問題，數學應用成為數學發展的重要動力之一。這一點前面已有專門的論述。接著，數學的教育形態也跟著發生了變化。從1980年代開始，西方數學教育界提出“非形式化數學教學（informal mathematics teaching）”的口號，要求中小學的數學教學擺脫過度形式化的束縛，主張聯絡學生的日常生活實際，增加數學問題的趣味性。總之，把數學呈現為學生容易接受的“教育形態
一、提出適度“非形式化”的重要意義
形式化是現代數學的特徵之一，這一點是無需置疑的。但不少數學家注意到目前中國的數學教學中存在著過度形式化的問題，往往將豐富多彩的數學的思想淹沒在形式化的海洋中，因此，提出了適度“非形式化”的觀點。這一觀點提出的另一理由，是一些數學家提出數學研究的方式正在發生著變化。
1．數學課程和數學教學中存在著過度形式化的現象
20世紀初，以希爾伯特為代表的形式主義學派盛極一時，數學的呈現形式是從一般的集合論開始，用公理體系、邏輯演繹規則展開。希爾伯特的形式主義哲學觀念，在學術上有重要的價值：數學的研究物件不是某個特定的物質形態，而是“思想材料”；數學是從所有自然現象和社會現象中抽象出來的數量規律。20世紀中葉，法國的布林巴基學派獨樹一幟，認為數學就是一些結構的組合，無所謂什麼實際意義。這種結構主義的哲學觀，把希爾伯特的形式主義哲學觀更向前推進一步。布林巴基學派把數學整理了一番，用“結構”把數學知識梳理成一個井然有序的體系，功不可沒。
但是，形式主義強調形式，結構主義把數學看成結構，其共同的問題是容易造成脫離現實。J.v. Neumann 先生早在1947年就說過：“遠離了它的實踐的源泉之後，或者太多‘抽象’的近親繁殖之後，數學學科就處在退化危險之中。在開始的時候，款式通常是經典的；當它有跡象表明成為巴洛克式時，那麼，危險的訊號就升起了。” R.Courant先生也針對此尖銳地指出：“兩千年來，掌握一定的數學知識已被視為每個受教育者必須具備的智力。數學在教育中的這種特殊地位，今天正在出現嚴重危機。不幸的是數學教育工作者對此應負其責。數學的教學逐漸流於無意義的單純演算習題的訓練。固然這可以發展形式演算能力，但卻無助於對數學的真正理解，無助於提高獨立思考能力。……忽視應用，忽視數學與其它領域之間的聯絡，這種狀況絲毫不能說明形式化方針是對的；在重視智力訓練的人們中必然激起強烈的反感”。
在哲學上，哥德爾的兩個不完備性定理，表明希爾伯特形式主義統一整個數學是不可能的。同時，數學在軍事、經濟、科學技術上的應用遠遠超出“結構”的限制。大約在1970年左右，世界各國的數學家把目光轉向“現實世界”，關注現實的數學問題，數學應用成為數學發展的重要動力之一。這一點前面已有專門的論述。接著，數學的教育形態也跟著發生了變化。從1980年代開始，西方數學教育界提出“非形式化數學教學（informal mathematics teaching）”的口號，要求中小學的數學教學擺脫過度形式化的束縛，主張聯絡學生的日常生活實際，增加數學問題的趣味性。總之，把數學呈現為學生容易接受的“教育形態