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  • 1 # s1985516s

    解:∵以2l為週期的函式f(x)的傅立葉級數的表示式為f(x)=(1/2)a0+∑[ancos(nπx/l)+bnsin(nπx/l)],其中an=(1/l)∫(-l,l)f(x)cos(nπx/l)dx(n=0,1,2,……),bn=(1/l)∫(-l,l)f(x)cos(nπx/l)dx(n=1,2,……), ∴1題,l=1,f(x)=e^x。∴a0=(1/l)∫(-l,l)f(x)dx=∫(-1,1)e^xdx=e-1/e。an=∫(-1,1)e^xcos(nπx)dx=[(-1)^n](a0)/[1+(nπ)^2],bn=∫(-1,1)e^xsin(nπx)dx=-[(-1)^n](a0)nπ/[1+(nπ)^2],∴f(x)=(a0){1/2+∑[(-1)^n][cos(nπx)-nπsin(nπx)]/[1+(nπ)^2]},其中a0=e-1/e,n=1,2,……,∞。 2題,l=1/2,f(x)=1-x^2。∴a0=(1/l)∫(-l,l)f(x)dx=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)dx=11/6。an=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)cos(2nπx)dx=-[(-1)^n]/(nπ)^2,bn=2∫(-1/2,1/2)(1-x^2)sin(2nπx)dx=0,∴f(x)=11/12-(1/π^2)∑[(-1)^n][cos(2nπx)]/n^2},其中n=1,2,……,∞。

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