f（x）和g（x）都沒有極限，f（x）+g（x）也可以有極限。

但是如果f（x）和g（x）只有一個是沒有極限的，另一個有極限，則f（x）+g（x）必然無極限。f（x）和g（x）都沒有極限，h（x）=f（x）+g（x）有極限的情況： f（x）=1（x≤0）；-1（x＞0） g（x）=-1（x≤0）；1（x＞0） f（x）和g（x）都是分段函式，都在x=0點有跳躍間斷點，所以f（x）和g（x）在x=0點都無極限。但是h（x）=f（x）+g（x）=1（x∈R）在x=0點有極限，極限是1 所以 f（x）和g（x）都沒有極限，h（x）=f（x）+g（x）也可以有極限。但是如果f（x）和g（x）只有一個是沒有極限的，另一個有極限，則h（x）=f（x）+g（x）必然無極限。反證法：當x→x0的時候，f（x）的極限是a，g（x）無極限，求證h（x）=f（x）+g（x）無極限。假設當x→x0的時候h（x）=f（x）+g（x）也有極限，極限是b lim（x→x0）g（x）=lim（x→x0）[h（x）-f（x）] =lim（x→x0）h（x）-lim（x→x0）f（x）=b-a 和g（x）無極限矛盾 所以f（x）和g（x）只有一個是沒有極限的，另一個有極限，則h（x）=f（x）+g（x）必然無極限。