首先，什麼是海倫公式？

據現行高中教材必修5的“閱讀與思考”中介紹：古希臘的數學發展到亞歷山大里亞時期，數學的應用得到了很大的發展，其最突出的一點就是三角術的發展。當時，在解決三角形的問題中，一個比較困難的問題是如何由三角形的三邊a、b、c直接求三角形的面積。據說這個問題最早是由古希臘數學家阿基米德解決的，他得到了公式：

但現在人們常常以古希臘數學家海倫命名這個公式，稱為海倫公式。是因為這個公式最早是出現在海倫的著作《測地術》中，並在海倫的著作《測量儀器》和《度量術》中給出了證明。公式的特點是形式很美，容易記憶。

其次，什麼是海倫三角形？

很明顯，海倫公式帶有根號，因此，對於許多三角形即使三邊是整數，其面積卻是無理數。（當時，人們還未認識無理數）。而海倫在其著作中舉出一個特殊的例子：a=13,b=14,c=15,S=84.

後來，人們就把邊長和麵積都是整數的三角形叫做海倫三角形。組成海倫三角形的三個整數就叫做“海倫三陣列”。

最後，如何構造海倫三角形？

海倫三角形肯定是存在的。

(1)由勾股陣列成的直角三角形一定是海倫三角形。

(2)海倫三角形可由兩個邊長為有理數的直角三角形拼成。

問沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，裡法三百步，欲知為田幾何？ 以小斜冪，並大斜冪，減中斜冪，餘半之，自乘於上；以小斜冪乘大斜冪，減上，餘四約之，為實；一為從隅，開平方得積。

這是《數書九章》中的一個題目，講的是三斜求積術（也就是海倫公式）。透過計算，可以得到面積是84（平方里）。大家發現，題中三角形的三個邊為連續的正整數，求出的面積也是整數。像這樣的三角形還有很多，比如大家最最熟悉的勾3股4弦5.

海倫三角形：三角形的三邊長為三個連續的整數，其面積也是整數。

我們可以透過海倫公式來求出海倫三角形的通解。

設所求海倫三角形的三邊長為分別為x-1，x，x+1,x為正整數。