這道題用四點共圓能快一些,但初中取消了四點共圓,所以我先用四點共圓證明,再用相似證明。
【證法1:用四點共圓】
連線EH、GF。
∵∠EAF=∠CBD=45°,
∴A、B、E、H四點共圓,
∴∠AHE=∠ABE=90°,
AH=EH,
∴S△AEF=1/2AF×EH=1/2AF×AH,
∵∠GAF=∠GDF=45°,
∴A、G、F、D四點共圓,
∴∠AGF=∠ADF=90°
∴△AGF是等腰直角三角形,
作GM⊥AF,則GM=1/2AF,
∵S△AGH=1/2AH×GM=1/4AH×AF,
∴S△AGH=1/2S△AEF。
【證法2:用相似】
連線EH
∵∠HAG=∠EBG=45°,∠AGH=∠BGE,
∴△HAG∽△EBG(AA),
∴AG/BG=HG/EG,
∵∠AGB=∠HGE,
∴△AGB∽△HGE(SAS),
∴∠GEH=∠GBA=45°,
∴△AEH是等腰直角三角形,
∴AH=EH,∠AHE=90°,
連線GF,同理:∠HFG=∠HDA=45°,
過點G作GM⊥AF於M,則GM=1/2AF,
∵S△AGH=1/2AH×GM=1/4AH×AF,
這道題用四點共圓能快一些,但初中取消了四點共圓,所以我先用四點共圓證明,再用相似證明。
【證法1:用四點共圓】
連線EH、GF。
∵∠EAF=∠CBD=45°,
∴A、B、E、H四點共圓,
∴∠AHE=∠ABE=90°,
AH=EH,
∴S△AEF=1/2AF×EH=1/2AF×AH,
∵∠GAF=∠GDF=45°,
∴A、G、F、D四點共圓,
∴∠AGF=∠ADF=90°
∴△AGF是等腰直角三角形,
作GM⊥AF,則GM=1/2AF,
∵S△AGH=1/2AH×GM=1/4AH×AF,
∴S△AGH=1/2S△AEF。
【證法2:用相似】
連線EH
∵∠HAG=∠EBG=45°,∠AGH=∠BGE,
∴△HAG∽△EBG(AA),
∴AG/BG=HG/EG,
∵∠AGB=∠HGE,
∴△AGB∽△HGE(SAS),
∴∠GEH=∠GBA=45°,
∴△AEH是等腰直角三角形,
∴AH=EH,∠AHE=90°,
∴S△AEF=1/2AF×EH=1/2AF×AH,
連線GF,同理:∠HFG=∠HDA=45°,
∴△AGF是等腰直角三角形,
過點G作GM⊥AF於M,則GM=1/2AF,
∵S△AGH=1/2AH×GM=1/4AH×AF,
∴S△AGH=1/2S△AEF。