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開普勒第一定律

這樣，角速度是

開普勒第一定律

對時間微分和對角度微分有如下關係：

開普勒第一定律

根據上述關係，徑向距離 對時間的導數為：

開普勒第一定律

再求一次導數：

開普勒第一定律

開普勒第一定律

代入徑向運動方程 ，

開普勒第一定律

開普勒第一定律

將此方程除以 ，則可得到一個簡單的常係數非齊次線性全微分方程來描述行星軌道：

開普勒第一定律

為了解這個微分方程，先列出一個特解

開普勒第一定律

再求解剩餘的常係數齊次線性全微分方程，

開普勒第一定律

它的解為

開普勒第一定律

開普勒第一定律

開普勒第一定律

這裡， 與 是常數。合併特解和與齊次方程解，可以得到通解

開普勒第一定律

開普勒第一定律

開普勒第一定律

選擇座標軸，讓 。代回 ，

開普勒第一定律

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其中， 是離心率。

開普勒第一定律

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這是圓錐曲線的極座標方程，座標系的原點是圓錐曲線的焦點之一。假若 ，則 所描述的是橢圓軌道。這證明了開普勒第一定律。