充分性：Cauchy列（基本列）收斂

證明：

1、首先證明Cauchy列有界

取e=1,根據Cauchy列定義，取自然數N，當n>N時有c

|a(n)-a(N)|<e=1

由此得：

|a(n)|=|a(n)-a(N)+a(N)|<=|a(n)-a(N)|+|a(N)|<1+|a(N)|

(通俗理解，a(n)無論怎麼樣也大不過a(N)絕對值加1，顯然根據經驗這是有界的。但數學裡需要嚴格的表達，下面因為N前的N-1個項，有最大值，所以得出了有界).

令：

M=Max{|a(1),a(2),……,|a(N)|,|a(N)|+1}

這樣就證明了，對於任何n都有a(n)<=M。

所以Cauchy列有界。

2、其次在證明收斂

因為Cauchy列有界，所以根據Bozlano-Weierstrass定理（有界數列有收斂子列）存在一個子列aj(n)以A為極限。那麼下面就是要證明這個極限A也就是是Cauchy列的極限。（注意這種證明方法是實數中常用的方法：先取點性質，然後根據實數稠密性，考慮點領域的性質，然後就可以證明整個實數域的性質了）

因為Cauchy列{a(n)}的定義，對於任意的e>0，都存在N,使得m、n>N時有

|a(m)-a(n)|<e/2

取子列{aj(n)}中一個j(k),其中k>N,使得

|aj(k)-A|<e/2

因為j(k)>=k>N,所以凡是n>N時，我們有

|a(n)-A|=|a(n)-aj(k)|+|aj(k)-A|<e/2+e/2=e

這樣就證明了Cauchy列收斂於A.

即得結果：Cauchy列收斂