簡單多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有關係
V+F-E=2
這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。
尤拉定理的意義
(1)數學規律:公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律
(2)思想方法創新:定理發現證明過程中,觀念上,假設它的表面是橡皮薄膜製成的,可隨意拉伸;方法上將底面剪掉,化為平面圖形(立體圖→平面拉開圖)。
(3)引入拓撲學:從立體圖到拉開圖,各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化,而頂點數,面數,稜數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域:拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料(如橡皮波)做成的圖形,拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
(4)提出多面體分類方法:
在尤拉公式中, f (p)=V+F-E 叫做尤拉示性數。尤拉定理告訴我們,簡單多面體f (p)=2。
除簡單多面體外,還有非簡單多面體。例如,將長方體挖去一個洞,連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面,而能變為一個環面。其尤拉示性數f (p)=16+16-32=0,即帶一個洞的多面體的尤拉示性數為0。
簡單多面體的頂點數V、面數F及稜數E間有關係
V+F-E=2
這個公式叫尤拉公式。公式描述了簡單多面體頂點數、面數、稜數特有的規律。
尤拉定理的意義
(1)數學規律:公式描述了簡單多面體中頂點數、面數、稜數之間特有的規律
(2)思想方法創新:定理發現證明過程中,觀念上,假設它的表面是橡皮薄膜製成的,可隨意拉伸;方法上將底面剪掉,化為平面圖形(立體圖→平面拉開圖)。
(3)引入拓撲學:從立體圖到拉開圖,各面的形狀、長度、距離、面積等與度量有關的量發生了變化,而頂點數,面數,稜數等不變。
定理引導我們進入一個新幾何學領域:拓撲學。我們用一種可隨意變形但不得撕破或粘連的材料(如橡皮波)做成的圖形,拓撲學就是研究圖形在這種變形過程中的不變的性質。
(4)提出多面體分類方法:
在尤拉公式中, f (p)=V+F-E 叫做尤拉示性數。尤拉定理告訴我們,簡單多面體f (p)=2。
除簡單多面體外,還有非簡單多面體。例如,將長方體挖去一個洞,連結底面相應頂點得到的多面體。它的表面不能經過連續變形變為一個球面,而能變為一個環面。其尤拉示性數f (p)=16+16-32=0,即帶一個洞的多面體的尤拉示性數為0。