1.角平分線
如圖，在任意三角形ABC中，∠BAC與∠ABC的角平分線交於F點
作FI⊥AC，FG⊥BC，FH⊥AB
∵BF平分∠ABC
且FH⊥AB，FG⊥BC
∴FH=FG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）
又∵AF平分∠BAC
且FH⊥AB，FI⊥AC
∴FI=FH
∴FI=FH=FG
∴點F在∠C的角平分線上（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）
2.中線
在任意三角形ABC中，AE=BE,AD=DC,連線CE，BD交於O點，連線AO，延長AO至G點，交BC於點F，使OF=FG，作BG//EC ，交AF的延長線於G，連線CG
∵BG//EC
∴AE/BE=AO/OG
∵CE是AB邊的中線，即AE=BE
∴AO=OG
∵BD是AC邊的中線
∴OD是△AGC的中位線
∴OD//GC
∴四邊形OBGC是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）
∴BF=CF（平行四邊形對角線互相平分）
∴AF是BC邊的中線
3.高線
在任意三角形ABC中，BG⊥AC於G，AF⊥BC於F，CE與AF交於D點，連線BD，延長BD交AC於G點，連線GF
∵BG⊥AC於G，AF⊥BC於F
∴A、B、G、F四點共圓
∴∠BGF＝∠BAF
同理∠BCE＝∠BGF
∴∠BCE＝∠BAF
又∵BG⊥AC於G
∴∠AFC=90°
∴∠BAF+∠ABC＝90°
又∵∠BAF=∠BCE
∴∠BCE+∠ABC＝90°
∴∠BEC=90°
即CE⊥AB
1.角平分線
如圖，在任意三角形ABC中，∠BAC與∠ABC的角平分線交於F點
作FI⊥AC，FG⊥BC，FH⊥AB
∵BF平分∠ABC
且FH⊥AB，FG⊥BC
∴FH=FG（角平分線上的點到角兩邊的距離相等）
又∵AF平分∠BAC
且FH⊥AB，FI⊥AC
∴FI=FH
∴FI=FH=FG
∴點F在∠C的角平分線上（到角兩邊距離相等的點在角的平分線上）
2.中線
在任意三角形ABC中，AE=BE,AD=DC,連線CE，BD交於O點，連線AO，延長AO至G點，交BC於點F，使OF=FG，作BG//EC ，交AF的延長線於G，連線CG
∵BG//EC
∴AE/BE=AO/OG
∵CE是AB邊的中線，即AE=BE
∴AO=OG
∵BD是AC邊的中線
∴OD是△AGC的中位線
∴OD//GC
∴四邊形OBGC是平行四邊形（兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形）
∴BF=CF（平行四邊形對角線互相平分）
∴AF是BC邊的中線
3.高線
在任意三角形ABC中，BG⊥AC於G，AF⊥BC於F，CE與AF交於D點，連線BD，延長BD交AC於G點，連線GF
∵BG⊥AC於G，AF⊥BC於F
∴A、B、G、F四點共圓
∴∠BGF＝∠BAF
同理∠BCE＝∠BGF
∴∠BCE＝∠BAF
又∵BG⊥AC於G
∴∠AFC=90°
∴∠BAF+∠ABC＝90°
又∵∠BAF=∠BCE
∴∠BCE+∠ABC＝90°
∴∠BEC=90°
即CE⊥AB