因為函式f（x）一定可以分解為奇函式和偶函式之和。其實可以直接從構造出的兩個函式來證明就行了。 f(x)=[f(x)+f(-x)]/2+[f(x)-f(-x)]/2

設函式y=F（x）

令f（x）=[F（x）+F（-x）]/2,則f（-x）=[F（-x）+F（x）]/2=f（x）

於是f（x）為偶函式

令g（x）=[F（x）-F（-x）]/2,則g（-x）=[F（-x）-F（x）]/2=-g（x）

則g（x）為奇函式

f（x）+g（x）=[F（x）+F（-x）]/2+）[F（x）-F（-x）]/2

=F（x）

於是任意F（x）可表示為偶函式f（x）=[F（x）+F（-x）]/2與奇函式g（x）=[F（x）-F（-x）]/2的和

所以，任意一個函式都可以寫成一個奇函式和一個偶函式之和。

擴充套件資料

函式的奇偶性也就是對任意xEl，若f(-x)=f(x)，即在關於y軸的對稱點的函式值相等，則f(x)稱為偶函式;若f(-x)= - f(x)，即對稱點的函式值正負相反，則f(x)稱為奇函式。

在平面直角座標系中，偶函式的圖象對稱於y軸，奇函式的圖象對稱於原點.可導的奇(偶)函式的導函式的奇偶性與原來函式相反。定義在對稱區間(或點集)上的任何函式f(x)都可以表示成奇函式φ( x)和偶函式ψ(x)之和。