解：

依題意知e=c/a=√6/3且b^2+c^2=(√3)^2=a^2

聯立解得a^2=3c^2=2∴b^2=1

即橢圓方程為x^2/3+y^2=1

設直線l：y=kx+b

由於：座標原點O到直線l的距離d為√3/2

則由點到直線距離公式，得：

d=√3/2=|b|/√[k^2+1]

則：b^2=(3/4)(k^2+1)

由於：直線l與橢圓C交與A，B兩點

則設A(x1,y1)B(x2,y2)

則由直線和橢圓相交弦長公式，得：

|AB|

=√[k^2+1]*|x1-x2|

=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]

由於：

橢圓C:x^2/3+y^2=1

直線l:y=kx+b

則聯立可得：

x^2/3+(kx+b)^2=1

[(1+3k^2)/3]x^2+2kbx+b^2-1=0

由於：A，B為其交點，

則x1,x2為方程的兩根

則由韋達定理，得：

x1+x2=-6kb/(1+3k^2)

x1x2=(9k^2-3)/(12k^2+4)

則：

|AB|=√[k^2+1]*√[(x1+x2)^2-4x1x2]化簡整理得

=√{3+4/(3k^2+1)-4/[(3k^2+1)^2]}

設：t=1/(3k^2+1)(t屬於(0,1])

|AB|=√[3+4t-4t^2]

=√[-4(t-1/2)^2+4]

則當t=1/2時，|AB|取最大值=2

此時k=±√3/3

△AOB面積的最大值

=(1/2)|AB|最大值*d

=(1/2)*2*(√3/2)

=√3/2