僅含有限多個元素的域。它首先由E.伽羅瓦所發現，因而又稱為伽羅瓦域。它和有理數域、實數域比較，有著許多不同的性質。

簡介

最簡單的有限域是整數環Z 模一個素數p得到的餘環Z/(p),由p個元素0,1,…,p-1組成,按模p相加和相乘。

J.H.M.韋德伯恩於1905年證明了“有限除環必是乘法交換的”。因此，有限除環就是現在所說的有限域。

條件

集合F={a，b，…}，對F的元素定義了兩種運算：“+”和“*”，並滿足以下3個條件，

·F1：F的元素關於運算“+”構成交換群，設其單位元素為0。

·F2：F\{0}的元素關於運算“*”構成交換群。即F中元素排除元素0後，關於*法構成交換群。

·F3：分配率成立，即對於任意元素

a，b，c∈F，

恆有

a*(b+c)=(b+c)*a=a*b+a*c

p是素數時，可證F{0，1，2，…，p-1}，在modp意義下，關於求和運算“+”，及乘積“*”，構成了域。F域的元素數目有限時稱為有限域。

有限域的階

有限域元素的數目稱為有限域的階。對於有限域，其元素的數目必然是素數的冪。而這個對應的素數成為有限域的特徵。在編碼和密碼理論裡面2^n階有限域被廣泛使用，具有非常重要的意義。

而另外，所有階數相同的有限域是同構的。也就是說，從本質上講，給定有限域的階，有限域就唯一確定了。

費馬小定理有限域推廣

假設一個有限域的階是q=p^n,那麼對於有限域裡面任意一個元素x,x^q=x,這個就是數論中費馬小定理在有限域中的推廣。