1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。
推理如下：
2³-1³=3×1²+3×1+1。
3³-2³=3×2²+3×2+1。
4³-3³=3×3²+3×2+1。
... ...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1。
以上n個式子相加，得。
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)。
即(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3[n(n+1)/2]+n。
∴3S=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-(n+1)。
即S=n(n+1)(2n+1)/6。
平方是一種運算，比如，a的平方表示a×a，簡寫成a²，也可寫成a×a(a的一次方乘a的一次方等於a的2次方），例如4×4=16，8×8=64，平方符號為2。
運算：
運算，數學上，運算是一種行為，透過已知量的可能的組合，獲得新的量。運算的本質是集合之間的對映。
一般說來，運算都指代數運算，它是集合中的一種對應。對於集合A中的一對按次序取出的元素a、b，有集合A中唯一確定的第三個元素c和它們對應，叫做集合A中定義了一種運算。
由這個運算可以得出兩個運算，就是把a、b中的一個當作所求的，而把c當作已知的，這樣得出的運算，叫做原來運算的逆運算。
例如，加法是已知a、b，求a+b=c的運算，那麼已知a及c，求b的運算，或者已知b及c求a的運算，就是加法的逆運算，叫做減法。
1²+2²+3²+...+n²=n(n+1)(2n+1)/6。
推理如下：
2³-1³=3×1²+3×1+1。
3³-2³=3×2²+3×2+1。
4³-3³=3×3²+3×2+1。
... ...
(n+1)³-n³=3n²+3n+1。
以上n個式子相加，得。
(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3(1+2+3+...+n)+(1+1+1+...+1)。
即(n+1)³-1=3(1²+2²+3²+...+n²)+3[n(n+1)/2]+n。
∴3S=(n+1)³-1-3n(n+1)/2-(n+1)。
即S=n(n+1)(2n+1)/6。
平方：平方是一種運算，比如，a的平方表示a×a，簡寫成a²，也可寫成a×a(a的一次方乘a的一次方等於a的2次方），例如4×4=16，8×8=64，平方符號為2。
擴充套件資料：運算：
運算，數學上，運算是一種行為，透過已知量的可能的組合，獲得新的量。運算的本質是集合之間的對映。
一般說來，運算都指代數運算，它是集合中的一種對應。對於集合A中的一對按次序取出的元素a、b，有集合A中唯一確定的第三個元素c和它們對應，叫做集合A中定義了一種運算。
由這個運算可以得出兩個運算，就是把a、b中的一個當作所求的，而把c當作已知的，這樣得出的運算，叫做原來運算的逆運算。
例如，加法是已知a、b，求a+b=c的運算，那麼已知a及c，求b的運算，或者已知b及c求a的運算，就是加法的逆運算，叫做減法。