（為了書寫方便，以下證明 行向量的 情況，列向量完全類似。）

設 α₁ = (a₁₁, a₁₂, ..., a₁_n), α₂ = (a₂₁, a₂₂, ..., a₂_n), ..., α_n =(a_n₁, a_n₂, ..., a_{nn}) 是 n 個 n維向量，如果那個嗎線性相關，則意味著存在 α_m (1 ≤ m ≤ n) 可以被其他向量線性表示為：

α_m = k₁α₁+ k₂α₂ + ... + k_{m-1}α_{m-1} + k_{m+1}α_{m+1} + ... + k_nα_n

於是對於以 α₁ , α₂ , ..., α_n 為 行向量 組成 的 n 階方陣：

逐次 對 A 做：”將 A 的 從 1 到 n 的 除去第 m 行外 的 第 i 行 乘以 -kᵢ 加到 第 m 行上“ 的 行初等變換，這會得到：

顯然，|A"| = 0。

而 行初等變換：將 A 的 從 1 到 n 的 除去第 m 行外 的 第 i 行 乘以 -kᵢ 加到 第 m 行上，相當於 對 A 右乘 初等變換矩陣：

為什麼呢？這，可以透過直接進行矩陣乘法運算驗證，大家自己試一試就知道了！

於是，有：

又根據 行列式 重要性質：|AB| = |A|·|B| 以及 |Pᵢ| = 1 的事實，很方便得到：

這其實就是 初等變換不改變行列式值 的性質。

於是最終得到：

|A| = |A"| = 0

說明：以上推導均可逆，因此 n階方陣 的 n個n維行（列）向量線性相關 當前僅當 n階方陣 的行列式值為 0。

在一個n×n矩陣中，如果n個n維列向量線性相關，則其中任何一個列向量均可由其他n-1個列向量線性表出，那麼這個列向量就一定可以經過若干次這種相應的初等變換變成一個零向量，而這種初等變換不改變行列式的值，所以這個矩陣的行列式的值等於零。