四位數總共有9999-999=9000個，其中除去四個數字全相同的，餘下9000-10=8990個數字不全相同．我們首先證明，變換T把這8990個數只變換成54個不同的四位數． 設a、b、c、d是M的數字，並： a≥b≥c≥d 因為它們不全相等，上式中的等號不能同時成立．我們計算T(M) M(減)=1000a+100b+10c+d M(增)=1000d+100c+10b+a T(M)= D1= M(減)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c) 我們注意到T(M)僅依賴於（a-d）與（b－c），因為數字a，b，c，d不全相等，因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d>0而b-c≥0． 此外b、c在a與d之間，所以a-d≥b-c，這就意味著a-d可以取1,2,…,9九個值，並且如果它取這個集合的某個值n，b-c只能取小於n的值，至多取n． 例如，若a-d=1，則b-c只能在0與1中選到，在這種情況下，T(M)只能取值： 999×(1)+90×(0)=0999 999×(1)+90×(1)=1089 類似地,若a-d=2, T(M)只能取對應於b-c=0,1,2的三個值．把a-d=1,a-d=2,…，a-d=9的情況下b-c所可能取值的個數加起來，我們就得到2+3+4+…+10=54 這就是T(M)所可能取的值的個數．在54個可能值中，又有一部分是數碼相同僅僅是數位不同的值，這些數值再變換T(M)中都對應相同的值（數學上稱這兩個數等價），剔除等價的因數，在T(M)的54個可能值中，只有30個是不等價的,它們是： 9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550, 8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544． 對於這30個數逐個地用上述法則把它換成最大與最小數的差,至多6步就出現6174這個數．
四位數總共有9999-999=9000個，其中除去四個數字全相同的，餘下9000-10=8990個數字不全相同．我們首先證明，變換T把這8990個數只變換成54個不同的四位數． 設a、b、c、d是M的數字，並： a≥b≥c≥d 因為它們不全相等，上式中的等號不能同時成立．我們計算T(M) M(減)=1000a+100b+10c+d M(增)=1000d+100c+10b+a T(M)= D1= M(減)-M(增)=1000(a-d)+100(b-c)+10(c-b)+d-a=999(a-d)+90(b-c) 我們注意到T(M)僅依賴於（a-d）與（b－c），因為數字a，b，c，d不全相等，因此由a≥b≥c≥d可推出；a-d>0而b-c≥0． 此外b、c在a與d之間，所以a-d≥b-c，這就意味著a-d可以取1,2,…,9九個值，並且如果它取這個集合的某個值n，b-c只能取小於n的值，至多取n． 例如，若a-d=1，則b-c只能在0與1中選到，在這種情況下，T(M)只能取值： 999×(1)+90×(0)=0999 999×(1)+90×(1)=1089 類似地,若a-d=2, T(M)只能取對應於b-c=0,1,2的三個值．把a-d=1,a-d=2,…，a-d=9的情況下b-c所可能取值的個數加起來，我們就得到2+3+4+…+10=54 這就是T(M)所可能取的值的個數．在54個可能值中，又有一部分是數碼相同僅僅是數位不同的值，這些數值再變換T(M)中都對應相同的值（數學上稱這兩個數等價），剔除等價的因數，在T(M)的54個可能值中，只有30個是不等價的,它們是： 9990,9981,9972,9963,9954,9810,9711,9621,9531,9441,8820,8730,8721,8640,8622,8550, 8532,8442,7731,7641,7632,7551,7533,7443,6642,6552,6543,5553,5544． 對於這30個數逐個地用上述法則把它換成最大與最小數的差,至多6步就出現6174這個數．