一：消參放縮(適合含參)

1.已知函式f(x)＝ex－ln(x＋m)．

(2)當m≤2時，證明f(x)＞0.

解：(1)f′(x)＝.

由x＝0是f(x)的極值點得f′(0)＝0，所以m＝1.

於是f(x)＝ex－ln(x＋1)，定義域為(－1，＋∞)，f′(x)＝.

函式f′(x)＝在(－1，＋∞)單調遞增，且f′(0)＝0.

因此當x∈(－1,0)時，f′(x)＜0；

當x∈(0，＋∞)時，f′(x)＞0.

所以f(x)在(－1,0)單調遞減，在(0，＋∞)單調遞增．

(2)當m≤2，x∈(－m，＋∞)時，ln(x＋m)≤ln(x＋2)，故只需證明當m＝2時，f(x)＞0.

當m＝2時，函式f′(x)＝在(－2，＋∞)單調遞增．

又f′(－1)＜0，f′(0)＞0，

故f′(x)＝0在(－2，＋∞)有唯一實根x0，且x0∈(－1,0)．

當x∈(－2，x0)時，f′(x)＜0；

當x∈(x0，＋∞)時，f′(x)＞0，從而當x＝x0時，f(x)取得最小值．

由f′(x0)＝0得＝，ln(x0＋2)＝－x0，

故f(x)≥f(x0)＝＋x0＝＞0.

綜上，當m≤2時，f(x)＞0.