高等幾何需掌握的基本概念與方法 第一部分 仿射幾何學的概念 一、平行投影與仿射對應 1.說明在一般情況下，仿射對應時對應點的連線不都是平行的。 2.在什麼情況下，一般仿射對應時對應點的連線都互相平行。 3.兩相交平面間的透視仿射對應有對應軸，如果有對應軸一般仿射對應時沒有對應軸，那麼這個仿射對應實質上仍然是透視放射對應。 二、仿射對應的不變性質與不變數 1.證明：三角形的重心是仿射對應下的不變性質。 2.證明：平行四邊形的中心是仿射對應下的不變性質。 3.證明：梯形在仿射對應下仍是梯形。 4.說明：兩個全等的矩形在仿射下對應於兩個等積的平行四邊形。 三、平面內的仿射變換及其決定 1.給出透視放射變換的對應軸即對應點",PP；求作已知三角形的對應圖形。 已知：對應軸L及一對對應點P，P； 求作：ABC的對應圖形。 2.在第一題條件下，求作已知正方形的對應圖形。 已知：對應軸L及一對對應點P，P； 求作：正方形ABCD的對應圖形 3.在題一條件下，做已知圓的對應圖形。 已知：對應軸L及一對對應點P，P； 求作：圓O的對應圖形。 4.給定由兩個三角形321,,PPP為"3"2"1,,PPP所決定的仿射變換，求做在此仿射變換下平面內任意一點A的對應點"A。 5.給定一個梯形ABCD，並且已知梯形中的三角形ABC在仿射變換ABC在仿射變換下的對應三角形"""CBA。求做這梯形第四點D的對應點。
oADBCE
o"A"D"B"C" 6.給定一個正五角形，而且已知定點A， CB,在仿射變換下的對應點""",,CBA，求作ED,兩點的對應點"D與"E。
PQCBAED
P"Q"C"B"A"E"D" 四、仿射變換的代數表示 1.證明：在仿射座標系下直線的方程是一次方程。 2.在仿射變換下，試求向量的變換式。 3.試利用代數方法證明：三對對應點決定一個仿射變換。 4.歐氏幾何學裡的圓在仿射變換下變為怎樣的圖形？ 5.在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的？ 6.試從仿射變換式說明直線上三點所成的簡比是仿射不變數。 五、仿射變換的特例 1.求仿射變換式 （1）使)1,1(),1,1(),0,0(三點變到)7,3()
高等幾何需掌握的基本概念與方法 第一部分 仿射幾何學的概念 一、平行投影與仿射對應 1.說明在一般情況下，仿射對應時對應點的連線不都是平行的。 2.在什麼情況下，一般仿射對應時對應點的連線都互相平行。 3.兩相交平面間的透視仿射對應有對應軸，如果有對應軸一般仿射對應時沒有對應軸，那麼這個仿射對應實質上仍然是透視放射對應。 二、仿射對應的不變性質與不變數 1.證明：三角形的重心是仿射對應下的不變性質。 2.證明：平行四邊形的中心是仿射對應下的不變性質。 3.證明：梯形在仿射對應下仍是梯形。 4.說明：兩個全等的矩形在仿射下對應於兩個等積的平行四邊形。 三、平面內的仿射變換及其決定 1.給出透視放射變換的對應軸即對應點",PP；求作已知三角形的對應圖形。 已知：對應軸L及一對對應點P，P； 求作：ABC的對應圖形。 2.在第一題條件下，求作已知正方形的對應圖形。 已知：對應軸L及一對對應點P，P； 求作：正方形ABCD的對應圖形 3.在題一條件下，做已知圓的對應圖形。 已知：對應軸L及一對對應點P，P； 求作：圓O的對應圖形。 4.給定由兩個三角形321,,PPP為"3"2"1,,PPP所決定的仿射變換，求做在此仿射變換下平面內任意一點A的對應點"A。 5.給定一個梯形ABCD，並且已知梯形中的三角形ABC在仿射變換ABC在仿射變換下的對應三角形"""CBA。求做這梯形第四點D的對應點。
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o"A"D"B"C" 6.給定一個正五角形，而且已知定點A， CB,在仿射變換下的對應點""",,CBA，求作ED,兩點的對應點"D與"E。
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P"Q"C"B"A"E"D" 四、仿射變換的代數表示 1.證明：在仿射座標系下直線的方程是一次方程。 2.在仿射變換下，試求向量的變換式。 3.試利用代數方法證明：三對對應點決定一個仿射變換。 4.歐氏幾何學裡的圓在仿射變換下變為怎樣的圖形？ 5.在仿射變換下，三角形的面積是怎樣改變的？ 6.試從仿射變換式說明直線上三點所成的簡比是仿射不變數。 五、仿射變換的特例 1.求仿射變換式 （1）使)1,1(),1,1(),0,0(三點變到)7,3()