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  • 1 # 小吶不帥但很實在

    反函式與原函式的關係:反函式的定義域與值域分別是原來函式的值域與定義域;函式的反函式,本身也是一個函式;偶函式必無反函式;奇函式如果有反函式,其反函式也是奇函式。

    反函式與原函式的關係

    什麼是原函式

    已知函式f(x)是一個定義在某區間的函式,如果存在可導函式F(x),使得在該區間內的任一點都有dF(x)=f(x)dx,則在該區間內就稱函式F(x)為函式f(x)的原函式。

    例如:sinx是cosx的原函式。

    什麼是反函式

    一般來說,設函式y=f(x)(x∈A)的值域是C,若找得到一個函式g(y)在每一處g(y)都等於x,這樣的函式x=g(y)(y∈C)叫做函式y=f(x)(x∈A)的反函式,記作y=f^-1(x)。反函式y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函式y=f(x)的值域、定義域。最具有代表性的反函式就是對數函式與指數函式。

    一般地,如果x與y關於某種對應關係f(x)相對應,y=f(x),則y=f(x)的反函式為x=f(y)或者y=f^-1(x)。存在反函式(預設為單值函式)的條件是原函式必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)。注意:上標"−1"指的是函式冪,但不是指數冪。

    反函式與原來函式關係

    ①函式的反函式,本身也是一個函式,由反函式的定義,原來函式也是其反函式的反函式,故函式的原來函式與反函式互稱為反函式。

    ②反函式的定義域與值域分別是原來函式的值域與定義域。

    ④偶函式必無反函式。

    ⑤單調函式必有反函式。

    ⑥奇函式如果有反函式,其反函式也是奇函式。

    ⑦原函式與其反函式在他們各自的定義域上單調性相同。

    函式y=f(x)的圖象和它的反函式y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱,關於這一關係的理解要注意以下三點:

    i)函式y=f(x)與y=f-1(x)的圖象關於直線y=x對稱,這個結論是在座標系中橫座標軸為x軸,縱座標軸為y軸,而且橫座標軸與縱座標軸的單位長度一致的前提下得出的;

    ii)(a,b)在y=f(x)的圖象上<=>(b,a)在y=f-1(x)的圖象上;

    iii)若y=f(x)存在反函式y=f-1(x),則函式y=f(x)的圖象關於直線y=x對稱的充分必要條件為f(x)=f-1(x),即原、反函式的解析式相同。

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