正弦定理和餘弦定理的所有公式 例題解析
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1正弦定理、三角形面積公式
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，並且都等於該三角形外接圓的直徑，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
面積公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.
1.正弦定理的變形及應用
變形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.
應用(1)利用正弦定理和三角形內角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題：
a.已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.
b.已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.
一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解.
(2)正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀.其主要功能是實現三角形中邊角關係轉化.例如：在判斷三角形形狀時，經常把a、b、c分別用2RsinA、2RsinB、2RsinC來代替.
2.餘弦定理
在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;
變形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab
在三角形中，我們把三條邊(a、b、c)和三個內角(A、B、C)稱為六個基本元素，只要已知其中的三個元素(至少一個是邊)，便可以求出其餘的三個未知元素(可能有兩解、一解、無解)，這個過程叫做解三角形，餘弦定理的主要作用是解斜三角形.
3.解三角形問題時，須注意的三角關係式：A+B+C=π
0<a，b，c<Π
sinA+B/2=sinπ-c/2=cosC/2
sin(A+B)=sinC
特別地，在銳角三角形中，sinA<cosb,sinb<cosc,sinc<cosa.
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1正弦定理、三角形面積公式
正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，並且都等於該三角形外接圓的直徑，即：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R.
面積公式：S△=1/2bcsinA=1/2absinC=1/2acsinB.
1.正弦定理的變形及應用
變形：(1)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC
(2)sinA∶sinB∶sinC=a∶b∶c
(3)sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R.
應用(1)利用正弦定理和三角形內角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題：
a.已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角.
b.已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角.
一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解.
(2)正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀.其主要功能是實現三角形中邊角關係轉化.例如：在判斷三角形形狀時，經常把a、b、c分別用2RsinA、2RsinB、2RsinC來代替.
2.餘弦定理
在△ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB;c2=a2+b2-2abcosC;
變形公式：cosA=b2+c2-a2/2bc,cosB=c2+a2-b2/2ac,cosC=a2+b2-c2/2ab
在三角形中，我們把三條邊(a、b、c)和三個內角(A、B、C)稱為六個基本元素，只要已知其中的三個元素(至少一個是邊)，便可以求出其餘的三個未知元素(可能有兩解、一解、無解)，這個過程叫做解三角形，餘弦定理的主要作用是解斜三角形.
3.解三角形問題時，須注意的三角關係式：A+B+C=π
0<a，b，c<Π
sinA+B/2=sinπ-c/2=cosC/2
sin(A+B)=sinC
特別地，在銳角三角形中，sinA<cosb,sinb<cosc,sinc<cosa.