lim an=a，a為常數

根據定義，

任意ε>0，存在N1>0，當n>N1，有|an-a|

對於：

|(a1+a2+…+an)/n - a|

=| [(a1-a)+(a2-a)+……+(aN1-a)]+[(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a)] | / n

≤|(a1+…+aN1)/n|+|(a(N1+1)-a)+(a(N1+2)-a)+…+(an-a))/n|

=|(a1+…+aN1)/n|+((n-N1)/n) * ε

因此，取N=max{N1，| a1+…+aN1 |/ε}

那麼有，

任意ε>0，存在N>0，當n>N，有|(a1+a2+…+an)/n - a|

故根據定義，

lim (a1+……+an)/n=a

lim an=+∞

根據定義得，

任意M>0，存在N>0，當n>N，有an>3M

此時，

(a1+a2+…+an)/n

=(a1+…+aN)/n+(a(N+1)+…+an)/(n-N) *(1-N/n)

>(a1+…+aN)/n+3M*(1-N/n)

又有(a1+…+aN)/n→0，1-N/n→1，(n→∞)

根據保號性

對上述M>0，存在N">N，當n>N"，恆有|(a1+…+aN)/n|

於是，當N>N"時，有(a1+a2+…+an)/n>-M/2 + 3M/2=M

故由定義得：

lim (a1+a2+…+an)/n=+∞

lim an=-∞可以類似證得