R=（√6）a/4。a為正四面體的稜長。
設正四面體的稜長為a,求其外接球的半徑.設正四面體V-ABC,D為BC的中點,E為面ABC的中心,外接球半徑為R,則AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。
在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,可解得：R=（√6）a/4.另外,我們也可以先求出OE,因為OE恰好是四面體的內切球的半徑r。
利用等積法可求得r.設四面體的底面積為S,則1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.於是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,從而得R=（√6）a/4。
擴充套件資料：
正四面體的性質：
1、正四面體的四個旁切球半徑均相等，等於內切球半徑的2倍，或等於四面體高線的一半。
2、正四面體的內切球與各側而的切點是側I面三角形的外心，或內心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命題均成立。
3、正四面體的外接球球心到四面體四頂點的距離之和，小於空間中其他任一點到四頂點的距離之和。
4、正四面體內任意一點到各側面的垂線長的和等於這四面體的高。
5、對於四個相異的平行平面，總存住一個正四面體，其頂點分別在這四個平面上。
R=（√6）a/4。a為正四面體的稜長。
設正四面體的稜長為a,求其外接球的半徑.設正四面體V-ABC,D為BC的中點,E為面ABC的中心,外接球半徑為R,則AD=（√3）a/2,AE=2/3*AD=（√3）a/3.在Rt△VAE中,有VE^2=VA^2-AE^2=a^2-a^2/3=(2a^2)/3,VE=(√6)a/3。
在Rt△AEO中,有AO^2=AE^2+OE^2=R^2+(VE-R) ^2,即R^2=a^2/3+[(√6)a/3-R] ^2,可解得：R=（√6）a/4.另外,我們也可以先求出OE,因為OE恰好是四面體的內切球的半徑r。
利用等積法可求得r.設四面體的底面積為S,則1/3*S*（R+r）=4*1/3*S*r,可得r=R/3.於是在Rt△AEO中,有R^2 = AE^2+r^2=a^2/3+R^2/9,從而得R=（√6）a/4。
擴充套件資料：
正四面體的性質：
1、正四面體的四個旁切球半徑均相等，等於內切球半徑的2倍，或等於四面體高線的一半。
2、正四面體的內切球與各側而的切點是側I面三角形的外心，或內心，或垂心，或重心，除外心外，其逆命題均成立。
3、正四面體的外接球球心到四面體四頂點的距離之和，小於空間中其他任一點到四頂點的距離之和。
4、正四面體內任意一點到各側面的垂線長的和等於這四面體的高。
5、對於四個相異的平行平面，總存住一個正四面體，其頂點分別在這四個平面上。