你這是要累死哥的節奏，好吧。哥豁出去一把，咱們現在從愛因斯坦的廣義相對論出發，去推導牛頓近似。

從場方程推導運動方程還是算了，咱們就直接從運動方程開始吧。

1、由於引力場是弱場，所以我們有：

2、式子中右邊第一項是閔可夫斯基度規，而

3、引力場是靜態的，即

4、引力場空間是緩變的，即

5、粒子做低速運動

注意，在自然單位制下c=1。這些近似能把運動方程化成牛頓形式，所以稱上述簡化為牛頓近似。

我們利用上面的條件，略去高於一階的小量，聯絡可以化成

根據粒子低速運動條件，可以進一步簡化為

當m是不依賴於τ的常數（即粒子不分裂）時，由上面的式子我們可以得到

其中α為常數。代入上式我們得到

利用前式我們可以得到

由於

所以

在經典的萬有引力場中，牛頓第二定律可以寫成

其中φ為牛頓引力勢。比較可以知道：上面兩個式子是相同的，於是我們可以把廣義相對論的自由粒子運動方程，寫成經典力學中粒子在引力場中運動的牛頓方程。其中h00對應於牛頓引力勢

設無窮遠處引力場消失，φ=0，這個時候度規應回到閔可夫斯基度規，h00=0。可見上面式子中的常數為0，於是我們可以有

當引力場為靜態球對稱場是，源外的牛頓引力勢

其中G為萬有引力常數。弱場近似條件代入意味著

我們稱rg為星體的引力半徑，在討論黑洞的時候，這個就是黑洞的半徑。一般星體的引力半徑都比較小，比如太陽的引力半徑只有3公里，而太陽的真實物理半徑達到700，000公里。如果太陽星辰白矮星時候，物理半徑會縮小到70，000公里；如果太陽變成中子星，半徑會縮小到10公里。所以，太陽外部的引力場都可以看做是弱場，白矮星也可以看做是弱場；但是中子星和黑洞不行。

從上面的推導過程我們可以知道，雖然引力場中的牛頓方程僅僅適用於靜態、空間緩變的引力場中的低速質點，但對研究地球和太陽系的天體運動，已經是非常精確了。

擦擦汗，讓哥休息一下，20多年不推導公式了，累個半死。

你需要建立一個理論來預測這一點，同時也要正確地預測我們所擁有的所有其他關於重力的實驗資料。在廣義相對論中，平方反比定律不是一個基本假設。它是愛因斯坦場方程的一個推導結果，也是那個方程的一個近似解(因為重力在廣義相對論中不被視為力，所以“平方反比定律”只有在適當的近似下才有意義——在這種情況下是弱場，慢速運動極限)。從廣義相對論的角度看，你不能只改變平方反比定律而不改變其他一切。如果改變愛因斯坦場方程，這將改變廣義相對論的所有預測(沒有人想出如何做到這一點，在不使變化的預測與實驗不一致的情況下)。已經有其他理論提出修改平方反比定律，但沒有一個能與所有已測試的體系中廣義相對論的預測能力相匹。