正弦、餘弦的和差化積
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程
因為
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
將以上兩式的左右兩邊分別相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
設 α+β=θ,α-β=φ
那麼
α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入,即得
sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
法2
根據尤拉公式,e ^Ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
口訣
正加正,正在前,餘加餘,餘並肩
正減正,餘在前,餘減餘,負正弦
反之亦然
在百科看看吧,
正切的和差化積
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附證明)
cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
證明:左邊=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右邊
∴等式成立
正弦、餘弦的和差化積
sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]
cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]
法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程
因為
sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,
sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,
將以上兩式的左右兩邊分別相加,得
sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,
設 α+β=θ,α-β=φ
那麼
α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2
把α,β的值代入,即得
sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]
法2
根據尤拉公式,e ^Ix=cosx+isinx
令x=a+b
得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)
所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb
sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa
口訣
正加正,正在前,餘加餘,餘並肩
正減正,餘在前,餘減餘,負正弦
反之亦然
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正切的和差化積
tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附證明)
cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)
tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)
tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)
證明:左邊=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ
=(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)
=sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右邊
∴等式成立