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  • 1 # 小吶不帥但很實在

    正弦、餘弦的和差化積

    sin α+sinβ=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

    sin α-sin β=2cos[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

    cos α+cos β=2cos[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]

    cos α-cos β=-2sin[(α+β)/2]·sin[(α-β)/2]

      法1 sin α+sin β=2sin[(α+β)/2]·cos[(α-β)/2]的證明過程

      因為

      sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β,

      sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β,

      將以上兩式的左右兩邊分別相加,得

      sin(α+β)+sin(α-β)=2sin αcos β,

      設 α+β=θ,α-β=φ

      那麼

      α=(θ+φ)/2,β=(θ-φ)/2

      把α,β的值代入,即得

      sin θ+sin φ=2sin[(θ+φ)/2]cos[(θ-φ)/2]

      法2

      根據尤拉公式,e ^Ix=cosx+isinx

      令x=a+b

      得e ^I(a+b)=e^ia*e^ib=(cosa+isina)(cosb+isinb)=cosacosb-sinasinb+i(sinacosb+sinbcosa)=cos(a+b)+isin(a+b)

      所以cos(a+b)=cosacosb-sinasinb

      sin(a+b)=sinacosb+sinbcosa

    口訣

      正加正,正在前,餘加餘,餘並肩

      正減正,餘在前,餘減餘,負正弦

      反之亦然

    在百科看看吧,

    正切的和差化積

    tanα±tanβ=sin(α±β)/(cosα·cosβ)(附證明)

    cotα±cotβ=±sin(β±α)/(sinα·sinβ)

    tanα+cotβ=cos(α-β)/(cosα·sinβ)

    tanα-cotβ=-cos(α+β)/(cosα·sinβ)

    證明:左邊=tanα±tanβ=sinα/cosα±sinβ/cosβ

      =(sinα·cosβ±cosα·sinβ)/(cosα·cosβ)

      =sin(α±β)/(cosα·cosβ)=右邊

      ∴等式成立

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