本題適合初一以上數學愛好者解答
問題：
已知 aa、bb、cc 都是實數，若
⎧⎩⎨a+b+c=5a2+b2+c2=15a3+b3+c3=47,
{a+b+c=5a2+b2+c2=15a3+b3+c3=47,
求 (a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2) 的值。
解法一：
考慮利用基本乘法公式求出所有對稱式，進而恆等變形。
由已知可得
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab+bc+ca=12[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]=5abc=13[(a3+b3+c3)−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)]=−1
{ab+bc+ca=12[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]=5abc=13[(a3+b3+c3)−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)]=−1
⇒f(x)=x3−5x2+5x+1=0
⇒a3−b3=5(a2−b2)+5(a−b)=5(a−b)(a+b−1)
⇒(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)
=125(a+b−1)(b+c−1)(c+a−1)=125⋅M.
先來求 MM 的值：
M=(2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)−3(ab+bc+ca)+2(a+b+c)−(a2+b2+c2)−1
再令 N=2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2N=2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2,
N=(a+b)(b+c)(c+a)=(5−a)(5−b)(5−c)
=125+5(ab+bc+ca)−25(a+b+c)−abc=26.
⇒M=2
本題適合初一以上數學愛好者解答
問題：
已知 aa、bb、cc 都是實數，若
⎧⎩⎨a+b+c=5a2+b2+c2=15a3+b3+c3=47,
{a+b+c=5a2+b2+c2=15a3+b3+c3=47,
求 (a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2) 的值。
解法一：
考慮利用基本乘法公式求出所有對稱式，進而恆等變形。
由已知可得
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab+bc+ca=12[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]=5abc=13[(a3+b3+c3)−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)]=−1
{ab+bc+ca=12[(a+b+c)2−(a2+b2+c2)]=5abc=13[(a3+b3+c3)−(a+b+c)(a2+b2+c2−ab−bc−ca)]=−1
⇒f(x)=x3−5x2+5x+1=0
⇒f(x)=x3−5x2+5x+1=0
⇒a3−b3=5(a2−b2)+5(a−b)=5(a−b)(a+b−1)
⇒a3−b3=5(a2−b2)+5(a−b)=5(a−b)(a+b−1)
⇒(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)
⇒(a2+ab+b2)(b2+bc+c2)(c2+ca+a2)
=125(a+b−1)(b+c−1)(c+a−1)=125⋅M.
=125(a+b−1)(b+c−1)(c+a−1)=125⋅M.
先來求 MM 的值：
M=(2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)−3(ab+bc+ca)+2(a+b+c)−(a2+b2+c2)−1
M=(2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)−3(ab+bc+ca)+2(a+b+c)−(a2+b2+c2)−1
再令 N=2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2N=2abc+a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2,
N=(a+b)(b+c)(c+a)=(5−a)(5−b)(5−c)
N=(a+b)(b+c)(c+a)=(5−a)(5−b)(5−c)
=125+5(ab+bc+ca)−25(a+b+c)−abc=26.
=125+5(ab+bc+ca)−25(a+b+c)−abc=26.
⇒M=2