尤拉乘積公式
尤拉乘積公式，是 Leonhard Euler (1707 - 1783) 於1737年在一篇題為 «對無窮級數的若干觀察» 的論文中提出並加以證明的，式中 n 為自然數，p為素數。Euler乘積公式將一個對自然數的求和表示式與一個對素數的連乘積表示式聯絡在一起，蘊涵著有關素數分佈的重要資訊。為了紀念 Riemann 的貢獻，Euler乘積公式左端的求和式被冠以Riemann的大名，並沿用Riemann使用過的記號ζ(s)，稱為Riemann ζ函式。
基本資訊
提出時間
1973年
應用學科
數學
相關人物
Riemann
目錄
詞條目錄
尤拉乘積公式簡介
證明
關閉
對任意複數s， 若 Re(s)>1， 則: Σn n-s = Πp(1-p-s)-1
這一資訊在隔了漫長的122年之後終於被 Bernhard Riemann (1826 - 1866) 所破譯，於是便有了Riemann 的著名論文«論小於給定數值的素數個數»。
Euler 乘積公式的證明十分簡單，唯一要小心的就是對無窮級數和無窮乘積的處理，不能隨意使用有限級數和乘積的性質。我們在下面證明的是一個更為普遍的結果，Euler乘積公式將作為該結果的一個特例出現。
廣義尤拉乘積公式： 設 f(n) 滿足 f(n1)f(n2) = f(n1n2)， 且 Σn|f(n)| < ∞， 則：
Σnf(n) = Πp[1+f(p)+f(p2)+f(p3)+ ...]
證明： 由於 Σn|f(n)| < ∞， 因此 1+f(p)+f(p2)+f(p3)+ ... 絕對收斂。 考慮連乘積中 p < N 的部分 (有限項)， 由於級數絕對收斂， 乘積又只有有限項， 因此可以使用與普通有限求和及乘積一樣的結合律及分配律。利用 f(n) 的乘積性質可得：
Πp<N[1+f(p)+f(p2)+f(p3)+ ...] = Σ"f(n)。
其中右端求和對所有隻含 N 以下素數因子的自然數進行 (每個這樣的自然數只在求和中出現一次，因為自然數的素數分解是唯一的)。由於所有本身在 N 以下的自然數顯然都只含 N 以下的素數因子，因此 Σ"f(n) = Σn<Nf(n) + R(N)，其中R(N)為對所有
尤拉乘積公式
尤拉乘積公式，是 Leonhard Euler (1707 - 1783) 於1737年在一篇題為 «對無窮級數的若干觀察» 的論文中提出並加以證明的，式中 n 為自然數，p為素數。Euler乘積公式將一個對自然數的求和表示式與一個對素數的連乘積表示式聯絡在一起，蘊涵著有關素數分佈的重要資訊。為了紀念 Riemann 的貢獻，Euler乘積公式左端的求和式被冠以Riemann的大名，並沿用Riemann使用過的記號ζ(s)，稱為Riemann ζ函式。
基本資訊
提出時間
1973年
應用學科
數學
相關人物
Riemann
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尤拉乘積公式簡介
尤拉乘積公式
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尤拉乘積公式
對任意複數s， 若 Re(s)>1， 則: Σn n-s = Πp(1-p-s)-1
這一資訊在隔了漫長的122年之後終於被 Bernhard Riemann (1826 - 1866) 所破譯，於是便有了Riemann 的著名論文«論小於給定數值的素數個數»。
Euler 乘積公式的證明十分簡單，唯一要小心的就是對無窮級數和無窮乘積的處理，不能隨意使用有限級數和乘積的性質。我們在下面證明的是一個更為普遍的結果，Euler乘積公式將作為該結果的一個特例出現。
廣義尤拉乘積公式： 設 f(n) 滿足 f(n1)f(n2) = f(n1n2)， 且 Σn|f(n)| < ∞， 則：
Σnf(n) = Πp[1+f(p)+f(p2)+f(p3)+ ...]
證明
證明： 由於 Σn|f(n)| < ∞， 因此 1+f(p)+f(p2)+f(p3)+ ... 絕對收斂。 考慮連乘積中 p < N 的部分 (有限項)， 由於級數絕對收斂， 乘積又只有有限項， 因此可以使用與普通有限求和及乘積一樣的結合律及分配律。利用 f(n) 的乘積性質可得：
Πp<N[1+f(p)+f(p2)+f(p3)+ ...] = Σ"f(n)。
其中右端求和對所有隻含 N 以下素數因子的自然數進行 (每個這樣的自然數只在求和中出現一次，因為自然數的素數分解是唯一的)。由於所有本身在 N 以下的自然數顯然都只含 N 以下的素數因子，因此 Σ"f(n) = Σn<Nf(n) + R(N)，其中R(N)為對所有