鄙人數學修養很淺薄，嘗試證明，權供參考。

首先明確：實數由全部整數、有理數和無理陣列成。

那我們就分別證明。

1，證明所有整數都在數軸上有對應的點。

A. 給定一條無限長的直線，然後指定任意點為原點，指定左右任意方向為正數方向，指定正數方向上任意一點為1——由此可得出一條如下圖所示的數軸。

B. 因為任意兩個相鄰整數的正差都是1，那麼從原點到1之間的線段長度也就等於任意兩個相鄰整數在數軸上所對應點（假如存在）之間的距離（下稱：單位間距）。

C. 從1所在的點B出發，沿著數軸線向正數方向量出單位間距後畫點C，可知點C所對應的數就是點B所對應的數的後續整數（2）。從原點出發，沿著數軸線向負數方向量出單位距離後，畫點E，可知點E所對應的數就是點A所對應數的前置整數（-1）。因為數軸線在正負兩個方向上均是無限長的，利用上面的畫法類推下去，從原點起，兩個方向上所有單位間距整數倍數上的點就能跟全部整數（ ..., -2, -1, 0, 1, 2 ...）一一對應上。

2，證明所有有理數在數軸上都有對應的點

A. 有理數都可以寫成 （a,b均為整數，b不為零）的分數形式。

B. 大於1、小於-1的分數都可以寫成 （c 正負整數）的帶分數形式。

C. 單位間距線段可以被n等分（ )

D. 如下圖，透過對單位距離線段做n等分可以找到任意帶分數真分數部分所對應的點。

E. 由於所有的假分數都可以轉換成帶分數，所有的帶分數又都等同於「整數 真分數」（整數部分 0 則+，否則-）那麼所有分數（有理數）就都能借助整數點和單位間距的n等分而在數軸上找到其對應的點。

3，證明所有無理數在數軸上都有對應的點

A. 無理數都能寫成「無線不迴圈小數」的形式。

B. 而無理數小數部分的每一個小數位，如 x.mn... 中的 n， 都是0-9的整數。

C. 從無理數整數部分所對應的點起始，向正向或負向先量出一個單位間距。對這個單位間距做10等分。然後數出第一位小數m所對應的份數，畫點m" 。再從m" 出發，向正向或負向量出1/10單位間距。對這1/10單位間距做10等分。然後數出第二位小數n所對應的份數，畫點n"。按照這個方法迭代下去，我們可以找到一個又一個越來越逼近這個無理數實際位置的點。

D. 以無理數 為例。我們假定它有一個對應的點存在於數軸的3和4之間。如果按照步驟C所描述的方法去無限逼近下去，走到小數後某一位時，我們找不到該近似值所對應的點了，那麼跟 值實際對應的點就可能不存在。然而線段可以無限等分下去，數軸是連續的沒有間斷的。將 值無限精確下去，我們依然能找到對應的點。所以說跟 值實際對應的點一定在數軸上 （這樣推論不知道對不對 |||-_-)

4，證明數軸上所有的點都有實數與之對應

呃……