四次方程

基本資訊

中文名

四次方程

別名

Quartic equation

拼音

sì cì fāng chéng

目錄

基本介紹

四次方程屬於高次方程範疇，其基本解法思想是：透過適當的配方，使四次方程變為兩個一元二次方程．

一元四次方程的求解，據說是由卡爾達諾的學生費拉里(Ferrari，1522年2月2日到1565年10月5日)首先掌握的．費拉里曾利用它戰勝了塔爾塔利亞．

四次方程的求解主要是以下兩種情況：

四次方程

1.如果一個一元四次方程的三次項係數和一次項係數都為 ，那麼該一元四次方程是雙二次方程：

四次方程

2.一般的一元四次方程可化為：

四次方程

這種一般情況主要有兩種解決方法：（1）Euler(尤拉)；（2）Ferrari(費拉里)，此處詳細陳述第二種。

解法

特殊情況

如果一個一元四次方程的三次項係數和一次項係數都為0 ，那麼該一元四次方程是雙二次方程：

四次方程

四次方程

四次方程

令 ，得 。用一元二次方程的求根公式可求出

四次方程

四次方程

則原方程的四個根分別為：

四次方程

四次方程

四次方程

四次方程

一般情況

1

一般的一元四次方程可化為：

四次方程

Ferrari(費拉里)

移項可得：

四次方程

四次方程

兩邊同時加上 配成平方：

四次方程

四次方程

在兩邊同時加上 ，可得：

四次方程

若使右邊這個x的二次式的判別式等於零，就能使這一邊成為x的一次式的完全平方。於是設

四次方程

四次方程

這是y的一個三次方程。選取這三次方程的任一個根代入 中的y。根據左邊

也是個完全平方這一事實，取平方根，得到x的一個二次式，它等於x的兩個互為正負的線性函式之一。解出這兩個二次方程便得到x的4個根。若從

四次方程

選取另一個根就會從

四次方程

引出一個不同的方程但得到同樣的四個根。

費拉里發現的上述解法的創造性及巧妙之處在於：

第一次配方後引進引數y，並再次配方把左邊配成含有引數y 的完全平方，再使 右邊也成為完全平方，從而把一個一元四次方程的求解問題化成了一個一元三次方程及兩個一元二次方程的求解問題．

因此，我們可得四次方程求根公式。

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