差分數列

差分數列是指由某個數列的差分構成的數列，給定數列a₁，a₂，…，an，…，記Δan=an+1-an，Δ²an=Δan+1-Δan，…，數列Δann=1，Δ²ann=1，…分別稱為原數列an的一階差分數列，二階差分數列……an與Δak之間有下列關係：an=a1+∑k=1Δak，類似地，Δan=Δa₁+∑k=1Δ²ak。這樣，如果某一階差分數列的部分和容易求出，就能求出通項an。

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詞條目錄

差分數列簡介

基本概念

相關說明

公式

例題解析

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基本概念

由數列{a}的一階差分構成的數列稱為數列{a}的 一階差分數列，記作Δ{a}或Δa，即

差分數列

同樣，由{a}的二階差分構成的數列稱為{a}的 二階差分數列，記作Δ²{a}或Δ²a，且有

差分數列

依次類推，數列{a}的幾階差分構成的數列稱為數列{a}的 n階差分數列，記作Δⁿ{a}或者Δa，即

差分數列

相關說明

差分數列

對數列{a}有 ，因此，如果能求得數列{a}的一階差分數列Δ{a}的前n-1項之和，即可求得數列{a}的通項公式。同樣可透過研究數列{a}的n階差分數列Δ{a}探求其n-1階差分數列Δ{a}的通項公式，從而最終求得{a}的通項公式，所以，研究數列{a}的差分數列是探求數列{a}的通項公式的途徑之一。

公式

差分數列

一階差分：

差分數列

二階差分：

......

差分數列

n階差分：

例題解析

【例1】舉例說明什麼是差分數列、階差法。

解數列 -2 2 7 15 28 ......

一階差分 4 5 8 13......

二階差分 1 3 5...

三階差分 2 2...

像上面的例子那樣，從原數列各項分別減去它的前面一項，以所得的差為項，得到一個新數列，叫做原數列的 一階差分數列；從一階差分數列各項分別減去它的前面一項，以所得的差為項的數列，叫做 二階差分數列。如此類推，可得三階、四階、五階差分數列等。

利用上面這些差分數列的性質，可以求原數列的通項及前n項的和，這樣的方法叫做 階差法。

注 一般地，對於數列

差分數列

設它的一階差分數列為

差分數列

則有

故可求得原數列的通項a(一階差分數列常簡稱為差分數列)。

【例2】在數列2, 4, 8, 14,22, 32,...中:

(1) 以每相鄰兩項之差為項的數列，是怎樣的數列?

(2)求這個新數列的前n-1項的