先回答第一個問題。

白蓮教又稱白蓮社、白蓮會，其產生於元朝，當時北方人民不滿於元王朝的統治，假託末日劫難、彌勒降生的宗教傳說，認為社會黑暗時刻就是末日劫難來臨，此時會有彌勒現世，領導造反來擺脫劫難，韓山童自稱是宋徽宗八世孫，率眾起義反元，號召恢復中華正統，將信眾組織為紅巾軍。

元朝滅亡後，白蓮教在明代一度偃旗息鼓，到了明末因為不滿政府的苛政，白蓮教再度突然興起，後被明王朝鎮壓。

清王朝建立後，嚴禁白蓮教等民間宗教，然而屢禁不止，乃至發生反清起義。到了清末，義和團實際上就是白蓮教的一個支派。

白蓮教的特點，就是依託民間宗教和迷信的施符水等活動，聯絡會眾，形成組織。一旦遇到政府禁教，或者民間生活痛苦，或者社會大動亂，就會從地下宗教走到地上，形成一股重要的反政府的力量。

再說天理教，天理教和白蓮教沒有直接關係，不過也尊崇末日劫難、彌勒轉世的宗教傳說，認為造反起義是擺脫劫難的途徑，屬於八卦教中的坎卦教、震卦教等結合而成的組織，可以算是八卦教的支派。

天理教在歷史上最著名的活動就是嘉慶年間進攻紫禁城的事件。當時天理教的頭領李文成自稱李自成轉世，根據一些迷信的預兆，乘著嘉慶帝前往避暑山莊避暑，紫禁城防守虛弱的空子，準備佔領紫禁城，奪取皇位，組成了70餘名會眾，由同鄉的太監帶路，混入皇城，同時攻打東華門、西華門，最終因為眾寡不敵而戰敗。