（1）∵圓心O到直線x-y+1=0的距離d=12，直線截圓所得的弦長為6，∴圓O的半徑r=(12)2+(62)2=2，則圓O的方程為x2+y2=2；（2）設直線l的方程為xa+yb=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，∵直線l與圓O相切，∴圓心到直線的距離d=r，即|ab|a2+b2=2，整理得：1a2+1b2=12，則DE2=a2+b2=2（a2+b2）?（1a2+1b2）=2（2+b2a2+a2b2）≥8，當且僅當a=b=2時取等號，此時直線l方程為x+y-2=0；（3）存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經過原點，理由為：設存在斜率為2的直線m滿足題意，設直線m為y=2x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立圓與直線解析式得：x2+y2=2y=2x+b，消去y得：5x2+4bx+b2-2=0，依題意得：x1+x2=-4b5，x1x2=b2-25，△＞0，∵以AB為直徑的圓經過原點，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（2x1+b）（2x2+b）=5x1x2+2b（x1+x2）+b2=5×b2-25+2b×（-4b5）+b2=0，整理得：b2=5，解得：b=±5，經檢驗△＞0，符合題意，則存在斜率為2的直線m滿足題意，直線m為：y=2x±5．
（1）∵圓心O到直線x-y+1=0的距離d=12，直線截圓所得的弦長為6，∴圓O的半徑r=(12)2+(62)2=2，則圓O的方程為x2+y2=2；（2）設直線l的方程為xa+yb=1（a＞0，b＞0），即bx+ay-ab=0，∵直線l與圓O相切，∴圓心到直線的距離d=r，即|ab|a2+b2=2，整理得：1a2+1b2=12，則DE2=a2+b2=2（a2+b2）?（1a2+1b2）=2（2+b2a2+a2b2）≥8，當且僅當a=b=2時取等號，此時直線l方程為x+y-2=0；（3）存在斜率為2的直線m，使m被圓O截得的弦為AB，以AB為直徑的圓經過原點，理由為：設存在斜率為2的直線m滿足題意，設直線m為y=2x+b，A（x1，y1），B（x2，y2），聯立圓與直線解析式得：x2+y2=2y=2x+b，消去y得：5x2+4bx+b2-2=0，依題意得：x1+x2=-4b5，x1x2=b2-25，△＞0，∵以AB為直徑的圓經過原點，∴OA⊥OB，∴x1x2+y1y2=0，即x1x2+（2x1+b）（2x2+b）=5x1x2+2b（x1+x2）+b2=5×b2-25+2b×（-4b5）+b2=0，整理得：b2=5，解得：b=±5，經檢驗△＞0，符合題意，則存在斜率為2的直線m滿足題意，直線m為：y=2x±5．