lim x的x次方

x趨向0

屬於“0的0次方”型未定式。

首先對x的x次方 取對數，為 xlnx，再寫為lnx/(1/x)

當x趨向0（我認為應該 x趨向0+）時，lnx/(1/x)是“無窮比無窮”型未定式，用洛必達法則。對分子分母分別求導數，最後得到 xlnx 的極限為 0 。

注意到xlnx是由 x的x次方 取對數得到的，因此原極限為 e^0 = 1

x→0+ lim[x→0+] x^x =lim[x→0+] e^(xlnx) =e^(lim[x→0+] xlnx) =e^(lim[x→0+] lnx/(x^(-1))) 洛必達法則 =e^(lim[x→0+] -(1/x)/(x^(-2))) =e^(lim[x→0+] -x) =e^0 =1

因為，

所以，

其中，

這是 ∞ / ∞ 型，使用 羅比達法則：

故，最終有：

事實上 f(x) = xˣ 的曲線如下：

在 (0, 1) 這個奇點處，取得 x → 0 的極限。

注意：以上的 x→0是在 xˣ 的定義域為（0, +∞）下有效的，也就是說 這裡的 x→0 等價於x→+0，因為xˣ 在 (-∞,0) 是復值函式，所以 x→-0 沒有實數極限。