數學裡,作用於一個有限維的內積空間,自共軛矩陣。矩陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等;等價地說,表達自伴運算元的矩陣是埃爾米特矩陣。即厄米共軛算符表達了一個厄米特矩陣(Hermitian Conjugate Matrix)。
中文名
厄米共軛算符
外文名
Hermitian conjugate operator
又譯作
埃爾米特矩陣
應用學科
量子力學術語
範疇
理工科
快速
導航
性質
定義
n階複方陣A的對稱單元互為共軛,即A的共軛轉置矩陣等於它本身,則A是厄米特矩陣(Hermitian Matrix)。
例如:矩陣, 那麼A就是一個自共軛矩陣。
顯然,埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的,其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣(實矩陣),如果它是對稱陣,即所有元素關於主對角線對稱,那麼它也是埃爾米特矩陣。也就是說,實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。
若A和B是埃爾米特矩陣,那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣;而只有在A和B滿足交換性(即AB=BA)時,它們的積才是埃爾米特矩陣。
可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A仍然是埃爾米特矩陣。
如果A是埃爾米特矩陣,對於正整數n,An是埃爾米特矩陣。
方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。
任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。
埃爾米特矩陣是正規矩陣,因此埃爾米特矩陣可被酉對角化,而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著埃爾米特矩陣的特徵值都是實的,而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交,因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。
n-階埃爾米特矩陣的元素構成維數為n^2-n的實向量空間,因為主對角線上的元素有一個自由度,而主對角線之外的元素有兩個自由度。
如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數,那麼這個矩陣是正定矩陣,若它們是非負的,則這個矩陣是半正定矩陣。[1]
數學裡,作用於一個有限維的內積空間,自共軛矩陣。矩陣中每一個第i 行第j 列的元素都與第j 行第i 列的元素的共軛相等;等價地說,表達自伴運算元的矩陣是埃爾米特矩陣。即厄米共軛算符表達了一個厄米特矩陣(Hermitian Conjugate Matrix)。
中文名
厄米共軛算符
外文名
Hermitian conjugate operator
又譯作
埃爾米特矩陣
應用學科
量子力學術語
範疇
理工科
快速
導航
性質
定義
n階複方陣A的對稱單元互為共軛,即A的共軛轉置矩陣等於它本身,則A是厄米特矩陣(Hermitian Matrix)。
例如:矩陣, 那麼A就是一個自共軛矩陣。
顯然,埃爾米特矩陣主對角線上的元素都是實數的,其特徵值也是實數。對於只包含實數元素的矩陣(實矩陣),如果它是對稱陣,即所有元素關於主對角線對稱,那麼它也是埃爾米特矩陣。也就是說,實對稱矩陣是埃爾米特矩陣的特例。
性質
若A和B是埃爾米特矩陣,那麼它們的和A+B也是埃爾米特矩陣;而只有在A和B滿足交換性(即AB=BA)時,它們的積才是埃爾米特矩陣。
可逆的埃爾米特矩陣A的逆矩陣A仍然是埃爾米特矩陣。
如果A是埃爾米特矩陣,對於正整數n,An是埃爾米特矩陣。
方陣C與其共軛轉置的和是埃爾米特矩陣。
任意方陣C都可以用一個埃爾米特矩陣A與一個斜埃爾米特矩陣B的和表示。
埃爾米特矩陣是正規矩陣,因此埃爾米特矩陣可被酉對角化,而且得到的對角陣的元素都是實數。這意味著埃爾米特矩陣的特徵值都是實的,而且不同的特徵值所對應的特徵向量相互正交,因此可以在這些特徵向量中找出一組C的正交基。
n-階埃爾米特矩陣的元素構成維數為n^2-n的實向量空間,因為主對角線上的元素有一個自由度,而主對角線之外的元素有兩個自由度。
如果埃爾米特矩陣的特徵值都是正數,那麼這個矩陣是正定矩陣,若它們是非負的,則這個矩陣是半正定矩陣。[1]