先說對稱矩陣吧.
可以從代數和幾何兩個方面上來講.代數方面,首先每個對稱矩陣A唯一對應於一個二次型x"Ax.因此對稱矩陣對二次型的研究有著重要的作用.二次型是什麼呢?從代數角度上講,他是一個函式.是n唯向量x到"數"的對映.因此研究對稱矩陣有助於研究二次型進而,在二次型的概念下.可以對矩陣進行合同分類(如同線上性變換的概念下對矩陣進行相似分類一樣).我們以前學習過矩陣的相似,他把具有相同性質的矩陣劃歸到了一起,例如兩個矩陣相似他們的行列式\跡和特徵值都分別相等.合同也是為了將矩陣分類,比如正定,負定矩陣.我要說的是研究對稱矩陣本身是為了在合同的代數概念下對矩陣進行一個分類,合同這種概念由於是從二次型那裡來的所以只對對稱矩陣產生作用.
從幾何的角度上講,一個對稱矩陣對應的二次型,與距離空間(常叫做歐氏空間)聯絡在一起.我們高中知識知道如果選自然基底,那麼向量x的長度就是他座標的內積x"x.根據矩陣乘法的定義我們可以用二次型表示長度為x"Ex其中E是單位矩陣.由於實際應用的需要或是理論研究的推廣,我們往往不能選到自然基底,甚至是標準正交的基底..那麼對於一般的基底而言,這個向量x的座標就不是x而是y了,他的長度就可以表示成y"Ay的形式,用線性代數座標變換的知識可以證明A是一個對稱矩陣.寫了這麼多,就是要說對稱矩陣與歐式空間中長度的概念密不可分.
繼續深入歐式空間,我們知道"直角座標系"下的歐式空間距離的概念是||x-y||,也就是(x-y)"(x-y)這又與上邊的長度一樣,與對稱矩陣密不可分了.
綜上,對稱矩陣是二次型和合同概念的基礎,是歐式空間的需要.只有在對稱矩陣的基礎上歐式空間才有意義.這就直接涉及到他的應用了.理論上,實變函式和勒貝格積分都要與長度這個概念產生關係那裡邊叫測度,就是與歐式空間有關係.泛函分析要研究泛函的賦範空間也要與長度產生關係.因此由於歐式空間的應用廣泛,導致了對稱函式的研究的必要.實際應用方面,對數值分析或是最最佳化理論那種給方程尋找近似解或是對空間中的離散點進行曲線擬合.都會導致基底不是自然基底,所以要研究歐式空間在一般基底下的表示(就是二次型)所具有的性質,二次型建立在對稱矩陣的基礎之上的,所以對稱矩陣的性質應用廣泛.
反對稱矩陣,是對二次型的又一個推廣,我們把x"Ay這樣的形勢對應於二次型x"Ax叫做對稱雙線性型,叫雙線性是因為他左右都乘了向量,叫對稱是因為A是對稱矩陣.因此對這種情況進行推廣當A反稱的話,我們就知道x"Ax=0(注意A反稱就不是二次型了,二次型要求A對稱),那麼x"Ay這種形式就叫做交錯雙線性型.反稱矩陣最常用的性質就是x"Ax=0.
先說對稱矩陣吧.
可以從代數和幾何兩個方面上來講.代數方面,首先每個對稱矩陣A唯一對應於一個二次型x"Ax.因此對稱矩陣對二次型的研究有著重要的作用.二次型是什麼呢?從代數角度上講,他是一個函式.是n唯向量x到"數"的對映.因此研究對稱矩陣有助於研究二次型進而,在二次型的概念下.可以對矩陣進行合同分類(如同線上性變換的概念下對矩陣進行相似分類一樣).我們以前學習過矩陣的相似,他把具有相同性質的矩陣劃歸到了一起,例如兩個矩陣相似他們的行列式\跡和特徵值都分別相等.合同也是為了將矩陣分類,比如正定,負定矩陣.我要說的是研究對稱矩陣本身是為了在合同的代數概念下對矩陣進行一個分類,合同這種概念由於是從二次型那裡來的所以只對對稱矩陣產生作用.
從幾何的角度上講,一個對稱矩陣對應的二次型,與距離空間(常叫做歐氏空間)聯絡在一起.我們高中知識知道如果選自然基底,那麼向量x的長度就是他座標的內積x"x.根據矩陣乘法的定義我們可以用二次型表示長度為x"Ex其中E是單位矩陣.由於實際應用的需要或是理論研究的推廣,我們往往不能選到自然基底,甚至是標準正交的基底..那麼對於一般的基底而言,這個向量x的座標就不是x而是y了,他的長度就可以表示成y"Ay的形式,用線性代數座標變換的知識可以證明A是一個對稱矩陣.寫了這麼多,就是要說對稱矩陣與歐式空間中長度的概念密不可分.
繼續深入歐式空間,我們知道"直角座標系"下的歐式空間距離的概念是||x-y||,也就是(x-y)"(x-y)這又與上邊的長度一樣,與對稱矩陣密不可分了.
綜上,對稱矩陣是二次型和合同概念的基礎,是歐式空間的需要.只有在對稱矩陣的基礎上歐式空間才有意義.這就直接涉及到他的應用了.理論上,實變函式和勒貝格積分都要與長度這個概念產生關係那裡邊叫測度,就是與歐式空間有關係.泛函分析要研究泛函的賦範空間也要與長度產生關係.因此由於歐式空間的應用廣泛,導致了對稱函式的研究的必要.實際應用方面,對數值分析或是最最佳化理論那種給方程尋找近似解或是對空間中的離散點進行曲線擬合.都會導致基底不是自然基底,所以要研究歐式空間在一般基底下的表示(就是二次型)所具有的性質,二次型建立在對稱矩陣的基礎之上的,所以對稱矩陣的性質應用廣泛.
反對稱矩陣,是對二次型的又一個推廣,我們把x"Ay這樣的形勢對應於二次型x"Ax叫做對稱雙線性型,叫雙線性是因為他左右都乘了向量,叫對稱是因為A是對稱矩陣.因此對這種情況進行推廣當A反稱的話,我們就知道x"Ax=0(注意A反稱就不是二次型了,二次型要求A對稱),那麼x"Ay這種形式就叫做交錯雙線性型.反稱矩陣最常用的性質就是x"Ax=0.