行列式的一個自然的源起是n維平行體的體積。行列式的定義和n維平行體的體積有著本質上的關聯。 在一個二維平面上，兩個向量X =(a, c)和X" =(b, d)的行列式是：
比如說，兩個向量X =(2, 1)和X" =(3, 4)的行列式是：
·經計算可知，當係數是實數時，行列式表示的是向量X和X"形成的平行四邊形的有向面積，並有如下性質：
·行列式為零當且僅當兩個向量共線（線性相關），這時平行四邊形退化成一條直線。
·如果以逆時針方向為正向的話，有向面積的意義是：平行四邊形面積為正當且僅當以原點為不動點將X逆時針“轉到”X"處時，掃過的地方在平行四邊形裡，否則的話面積就是負的。如右圖中，X和X"所構成的平行四邊形的面積就是正的。
·行列式是一個雙線性對映。也就是說， ，
並且 。
其幾何意義是：以同一個向量v作為一條邊的兩個平行四邊形的面積之和，等於它們各自另一邊的向量u和u"加起來後的向量：u + u"和v所構成的平行四邊形的面積，如左圖中所示。 在三維的有向空間中，三個三維向量的行列式是：
比如說，三個向量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是：
當係數是實數時，行列式表示X、X′和X″三個向量形成的平行六面體的有向體積，也叫做這三個向量的混合積。同樣的，可以觀察到如下性質：
·行列式為零當且僅當三個向量共線或者共面（三者線性相關），這時平行六面體退化為平面圖形，體積為零。
·三維空間中有向體積的定義要比二維空間中複雜，一般是根據右手定則來約定。比如右圖中(u,v,w)所形成的平行六面體的體積是正的，而(u,w,v)所形成的平行六面體的體積是負的。這個定義和行列式的計算並不矛盾，因為行列式中向量的座標都是在取好座標系後才決定的，而座標系的三個方向一般也是按照右手規則來設定的。如果計算開始時座標系的定向反過來的話，有向體積的定義也要跟著反過來，這樣行列式才能代表有向體積。
·這時行列式是一個“三線性對映”，也就是說，對第一個向量有 ，對第二、第三個向量也是如此。其幾何意義和二維時基本相同，是指當生成兩個平行六面體的每組三個向量中如果有兩個是重合的，比如分別是：(u,v,w)和(u",v,w)，那麼它們的體積之總和等於將u和u"加起來後的向量u + u"和v,w所形成的平行六面體的體積，如右圖所示。 設E是一個一般的n維的有向歐幾里
行列式的一個自然的源起是n維平行體的體積。行列式的定義和n維平行體的體積有著本質上的關聯。 在一個二維平面上，兩個向量X =(a, c)和X" =(b, d)的行列式是：
比如說，兩個向量X =(2, 1)和X" =(3, 4)的行列式是：
·經計算可知，當係數是實數時，行列式表示的是向量X和X"形成的平行四邊形的有向面積，並有如下性質：
·行列式為零當且僅當兩個向量共線（線性相關），這時平行四邊形退化成一條直線。
·如果以逆時針方向為正向的話，有向面積的意義是：平行四邊形面積為正當且僅當以原點為不動點將X逆時針“轉到”X"處時，掃過的地方在平行四邊形裡，否則的話面積就是負的。如右圖中，X和X"所構成的平行四邊形的面積就是正的。
·行列式是一個雙線性對映。也就是說， ，
並且 。
其幾何意義是：以同一個向量v作為一條邊的兩個平行四邊形的面積之和，等於它們各自另一邊的向量u和u"加起來後的向量：u + u"和v所構成的平行四邊形的面積，如左圖中所示。 在三維的有向空間中，三個三維向量的行列式是：
比如說，三個向量 (2, 1, 5)、(6, 0, 8)和 (3, 2, 4)的行列式是：
當係數是實數時，行列式表示X、X′和X″三個向量形成的平行六面體的有向體積，也叫做這三個向量的混合積。同樣的，可以觀察到如下性質：
·行列式為零當且僅當三個向量共線或者共面（三者線性相關），這時平行六面體退化為平面圖形，體積為零。
·三維空間中有向體積的定義要比二維空間中複雜，一般是根據右手定則來約定。比如右圖中(u,v,w)所形成的平行六面體的體積是正的，而(u,w,v)所形成的平行六面體的體積是負的。這個定義和行列式的計算並不矛盾，因為行列式中向量的座標都是在取好座標系後才決定的，而座標系的三個方向一般也是按照右手規則來設定的。如果計算開始時座標系的定向反過來的話，有向體積的定義也要跟著反過來，這樣行列式才能代表有向體積。
·這時行列式是一個“三線性對映”，也就是說，對第一個向量有 ，對第二、第三個向量也是如此。其幾何意義和二維時基本相同，是指當生成兩個平行六面體的每組三個向量中如果有兩個是重合的，比如分別是：(u,v,w)和(u",v,w)，那麼它們的體積之總和等於將u和u"加起來後的向量u + u"和v,w所形成的平行六面體的體積，如右圖所示。 設E是一個一般的n維的有向歐幾里