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圓周角定理:一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半
證明:
已知在⊙O中,∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC,求證:∠BOC=2∠BAC.
證明:
情況1:
如圖1,當圓心O在∠BAC的一邊上時,即A、O、B在同一直線上時:
圖1
∵OA、OC是半徑
解:∴OA=OC
∴∠BAC=∠ACO(等邊對等角)
∵∠BOC是△AOC的外角
∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC
情況2:
如圖2,,當圓心O在∠BAC的內部時:
連線AO,並延長AO交⊙O於D
圖2
∵OA、OB、OC是半徑
解:∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等邊對等角)
∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)
∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)
∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC
情況3:
如圖3,當圓心O在∠BAC的外部時:
圖3
連線AO,並延長AO交⊙O於D連線OA,OB。
解:∵OA、OB、OC、是半徑
∴OA=OB=OC
∴∠BAD=∠ABO(等邊對等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)
∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角
∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)
∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)
∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC
從而得證:∠BOC=2∠BAC.
圓周角定理指的是一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。
當圓心O在∠BCA的內部時:連線CO,並延長CO交⊙O於D∵OA、OB、OC是半徑∴OA=OB=OC∴∠A=∠2,∠B=∠4(等邊對等角)∵∠1、∠3分別是△AOC、△BOC的外角∴∠1=∠A+∠2=2∠2(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)∠3=∠B+∠4=2∠4(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)∴∠AOB=∠1+∠3=2(∠2+∠4)=2∠ACB
其他圖形的證明方法同上,都是利用三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和來證明的。