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有無簡便方法?
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  • 1 # 糖粿麻麻

    圓周角定理指的是一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半。

    當圓心O在∠BCA的內部時:連線CO,並延長CO交⊙O於D∵OA、OB、OC是半徑∴OA=OB=OC∴∠A=∠2,∠B=∠4(等邊對等角)∵∠1、∠3分別是△AOC、△BOC的外角∴∠1=∠A+∠2=2∠2(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)∠3=∠B+∠4=2∠4(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

    ∴∠AOB=∠1+∠3=2(∠2+∠4)=2∠ACB

    其他圖形的證明方法同上,都是利用三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和來證明的。

  • 2 # 科技小升

    圓周角定理:一條弧所對圓周角等於它所對圓心角的一半

    證明:

    已知在⊙O中,∠BOC與圓周角∠BAC同對弧BC,求證:∠BOC=2∠BAC.

    證明:

    情況1:

    如圖1,當圓心O在∠BAC的一邊上時,即A、O、B在同一直線上時:

    圖1

    ∵OA、OC是半徑

    解:∴OA=OC

    ∴∠BAC=∠ACO(等邊對等角)

    ∵∠BOC是△AOC的外角

    ∴∠BOC=∠BAC+∠ACO=2∠BAC

    情況2:

    如圖2,,當圓心O在∠BAC的內部時:

    連線AO,並延長AO交⊙O於D

    圖2

    ∵OA、OB、OC是半徑

    解:∴OA=OB=OC

    ∴∠BAD=∠ABO,∠CAD=∠ACO(等邊對等角)

    ∵∠BOD、∠COD分別是△AOB、△AOC的外角

    ∴∠BOD=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

    ∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

    ∴∠BOC=∠BOD+∠COD=2(∠BAD+∠CAD)=2∠BAC

    情況3:

    如圖3,當圓心O在∠BAC的外部時:

    圖3

    連線AO,並延長AO交⊙O於D連線OA,OB。

    解:∵OA、OB、OC、是半徑

    ∴OA=OB=OC

    ∴∠BAD=∠ABO(等邊對等角),∠CAD=∠ACO(OA=OC)

    ∵∠DOB、∠DOC分別是△AOB、△AOC的外角

    ∴∠DOB=∠BAD+∠ABO=2∠BAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

    ∠DOC=∠CAD+∠ACO=2∠CAD(三角形的外角等於兩個不相鄰兩個內角的和)

    ∴∠BOC=∠DOC-∠DOB=2(∠CAD-∠BAD)=2∠BAC

    從而得證:∠BOC=2∠BAC.

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