在量子力學中，物理問題的求解可歸結為求解薛定諤方程：Hψ=Eψ

可惜的是，在數學上可以嚴格求解的問題是很少的，但這些問題的解在物理上又是存在的。為了找到這些解，物理學家發展出了一系列的近似方法。

最常見的近似方法是微擾論，即假設物理問題由兩部分組成：

其中H0是數學上可以嚴格求解的，H"很小，我們認為H"對H0的影響很小，在最低階的意義下H的解可以用H0的解來替代，然後在此基礎上我們計算H"對系統能量E的修正，這就是所謂微擾論。

微擾論的精神很簡單，就是小的相互作用會導致小的非本質的修正。具體在這裡就是不改變本徵值問題Hψ=Eψ的解的結構。

比如對H0而言，我們可以計算出n個能級，那麼考慮H"以後計算出來的也是n個能級，而且這n個能級是一一對應的，每一個在能量上都只有“小”的修正，H對應的本徵函式可以表示為H0本徵函式的線性疊加。

微擾論的應用是有限制的，如果H"導致能級的本質性改變，那麼微擾論就不可能適用了。此時我們可以用變分法、平均場近似等方法處理。其中變分法是一種比較強大的方法。

變分法的基礎是由如下數學定理保證的：

對於歸一化的波函式《ψ|ψ》=1，變分問題δ《ψ|H|ψ》=0等價於薛定諤方程：Hψ=Eψ。

這裡ψ表示的是所有可能的歸一化的波函式，換句話說就是一切可能的量子態，變分條件δ《ψ|H|ψ》=0意味著當波函式有微小的改變的時候，《ψ|H|ψ》的取值是極值，而《ψ|H|ψ》就是系統處於ψ時候的能量，換句話說此時系統的能量E達到極值。

在物理中我們最關心的是系統的基態，即能量E最低的態，我們一般用變分法求的是物理系統H的基態|0》，及此時對應的能量E0。

從道理上來說這個工作很簡單，只要我們窮盡世間所有的波函式ψ，再分別把它們對應的能量E都計算出來，然後從中挑出最小的那個E就可以了。

當然這個窮舉的方法因為計算量過大是不可能的，我們退而求其次就需要根據物理問題本身的特徵猜出一個解來，這個解是基於我們對物理系統本身的特點猜出來的，而不是數學意義下推出來的。

我們一般是猜一個含引數的解，即選定一類波函式ψ(α)，然後我們計算：

由這個條件我們可以得到使極值條件成立時候的α0，波函式ψ(α0)就是我們要求的具有最小能量取值的波函式，當然這是一個近似，因為我們並沒有窮舉所有可能的波函式，而只是針對我們猜測的某一類波函式ψ(α)才成立。

儘管如此，只要你的試探波函式ψ(α)取得足夠好，那麼變分法求出的基態和真實的基態就是非常接近的。

如何猜試探波函式ψ(α)是個很物理的工作，比如要考慮系統的對稱性等，但這裡並沒有固定的套路可循，否則就不叫猜了。

首先我覺得變分原理是用來求基態能量和基態波函式的。第一步自己設計一個波函式(拋物線，正弦，高斯，選擇不同的波函式會影響結果)，引數待定，然後帶入方程。求出能量，再對能量求導等於零(得到一個方程)，解方程算出引數。再把求出的引數帶入設計好的函數里就求出了基態波函式，帶入能量式 子就求出了基態能量。