3維空間中的3個向量a,b,c可以構成一個頂點在座標系原點的四面體的3個稜.

這個四面體的體積可以表示成 |(a X b)c|,其中,a X b 表示3維向量之間的叉積運算,運算的結果是一個和向量a,b都垂直的3維向量.

(a X b)c表示a,b的叉積[向量]和向量c之間的點積運算.2個向量之間的點積運算的結果是一個標量.| |是對一個標量取絕對值的運算.

顯然,3個3維向量共面時,和它們對應的四面體的體積應該為0.

因此,

(a X b)c = 0

可以作為3個3維向量a,b,c共面的1個判定條件.

實際上,設3階矩陣A的3個行分別為a,b,c.

則

A的行列式 = (a X b)c

所以,一般用矩陣A的行列式是否為零來判斷3個向量a,b,c是否共面.

對於N維(N>3)空間中的向量來說,向量共面一般描述為向量屬於同一個低維的子空間.

由於N維空間的低維子空間的維數可以是1到N-1之間的任何一個數.所以,N維空間中的所謂超平面就不止1個了.

這個時候,要描述向量共一個超平面,或者說向量屬於同一個低維的子空間,就可以利用樓上說的方法.