玻爾茲曼（L.E.Boltzmann，1844-1906）是十九世紀後半期奧地利的傑出物理學家，他在之前英國物理學家麥克斯韋的一個關於氣體分子運動統計理論的基礎上進行了拓展，得到了具有更加廣泛適用性的微觀粒子運動系統的統計分佈規律，這就是物理學界所稱的玻爾茲曼分佈律。

從物理學的角度看，所謂玻爾茲曼分佈律是這樣一個規律：對於一個具有大量粒子並且數量不變、粒子之間相互獨立（即沒有相互作用）、總能量確定（或者溫度確定）的平衡態系統，其中存在著一系列按照能量級別不同可以加以區別的微小子系統（或狀態），每個子系統中的粒子數與該子系統的能級大小成指數反比。換言之，子系統的能量越高則含有的粒子數就越少。最簡單的公式和圖示如下：

上圖的玻爾茲曼分佈公式中，n是能級Ep的粒子數，n。是系統粒子總數，T是系統溫度，k是玻爾茲曼常數。將公式繪成曲線圖可以看出，曲線有一個頂點，意味著整個系統存在著一個粒子數最多的能量子系統，亦即最可幾狀態。並且整個系統的宏觀能量（或溫度）越高，則曲線越扁平，高能量粒子也就相對可能更多，但最可幾能態的粒子數卻可能更少。

實際上，玻爾茲曼分佈律目前已經超出了物理學範圍，可以應用到更廣泛的領域中。比如經濟領域社會人群的收入分佈分析、地球大氣質量分佈和總質量估計、人工智慧的深度學習神經網路分析等。

玻爾茲曼分佈是系統中的粒子在各種可能的能量態下的數量分佈：

n∝e^(-E/kT)

E表示某個能量態的能量，n為處於能量態E的粒子數。

當看到上述公式時，大部分人會被它吸引，但往往沒有注意到，其最大的魅力在於自然常數e，又被稱為尤拉數，是自然界普遍存在，與π同樣令人神往的常數。若是換成n∝5^(-E/kT)，那重視程度可以說大打折扣。

因此理解玻爾茲曼分佈的關鍵在於該公式的指數形式e^(-E/kT)必然不是特殊的，而是普遍適用的。

以下引用費曼的觀點，摘自《費曼物理學講義》（注：譯文語句並不通俗易懂，講究下吧）。

該定律可以表述為：系統中任何一點的密度正比於e^(- 粒子的勢能/kT)。

無論作用在分子上的力是哪種力，比方說，重力、電場力或者存在某種隨位置而變化的吸引力等等。

為了簡單起見，現在我們假定分子全都相同，在每一單個分子上都有力的作用，因而作用在一小部分氣體上的總的力就是分子數乘以作用在每個分子上的力。同時為了避兔不必要的麻煩，假設我們所選擇的座標系的x軸沿力F的方向。

如果我們在氣體中取兩個相隔為dx的平行平面，那麼，作用在每個分子上的力乘以每立方厘米的粒子數n，再乘以dx，必須與壓強P的改變數相平衡：

nFdx=dP=kTdn

或者，也可以將這個規律寫成這樣的形式：

Fdx=kTd（ln n）

現在，可以看出-Fdx是使分子從x跑到x+dx我們所要做的功，如果F由勢而來，也就是說，如果所做的功完全可以用勢能來表示的話，那麼這也就等於勢能E之差。勢能微分的負值就是所做的功Fdx，因而得出：

d（ln n）=-dE/kT

兩邊積分後得：

n=Ce^(-E/kT)

C表示常數。

總而言之，自然常數e揭示了玻爾茲曼分佈定律的普遍性，蘊含了某種深刻的含義。