對於任意三角形，面積公式為：

S=1/2 ah

其中 a 為 底邊長度 h 為高。

對於 正三角形，三邊 長度 相同，每個內角 60º，故 h＝ a sin 60º ＝ a√3/2，帶人面積公式 得打：

S＝√3/4 a²

根據，海倫公式：

S=√[C/2 (C/2 - a)(C/2 - b)(C/2 - c)]

正三角形滿足：a＝b＝c，C＝3a，於是有：

S＝√[C(C - 2a)(C - 2b)(C - 2c)/16] ＝√[3a(a)(a)(a)/16]＝√3/4 a²

用 周長 C = 3a 代替 邊長 a，有：

S₃＝1 /(4 × 3√3) C²

於是思考：對於周長為 C 的 正 n 邊形（n > 2)，面積公式是什麼？

正方形，C = 4a, S = a²，故：

S₄ = 1/(4×4) C²

更一般性：正 n 邊形，C=na，

有：

h = 1/2tan(π/n) a，

則：

Sn = n × (1/2 ah) = 1 / (4tan(π/n)) na²

最終得到：

Sn = 1/(4n tan(π/n)) C²

驗證：

S₃ = 1/(4×3tan(π/3)) C² = 1/(4×3√3) C²

S₄ = 1/(4×4tan(π/4)) C² = 1/(4×4) C²

...

特別地，定義 n = ∞ 時， 為：

S∞ = lim_{n → ∞} Sn

由於

lim_{n → ∞} ntan(π/n) = π lim_{n → ∞} tan(π/n) / (π/n) = π lim_{x → 0} tan(x) / x = π lim_{x → 0} sin(x) / x lim_{x → 0} 1/cos(x) = π

於是：

lim_{n → ∞} Sn = lim_{n → ∞} 1/(4 ntan(π/n)) C² = 1/(4 π) C²

即，

S∞ = 1/(4 π) C²

而當 n = ∞ 時就是 正n邊形 就是 圓，由圓的面積公式 S = π r² 和 周長公式 C = 2π r 可以以得到：

S = 1/(4 π) C²

這和上面 的結果吻合。