非歐幾何是指不同於歐幾里得幾何學的幾何體系，簡稱為非歐幾何，一般是指羅巴切夫斯基幾何(雙曲幾何)和黎曼的(橢圓幾何)，而今的學科體系一般都統稱黎曼幾何。它們與歐氏幾何最主要的區別在於公理體系中採用了不同的平行公理。

羅巴切夫斯基幾何的公理系統和歐幾里得幾何不同的地方僅僅是把歐式幾何平行公理用“在平面內，從直線外一點，至少可以做兩條直線和這條直線平行”來代替，其他公理基本相同。由於平行公理不同，經過演繹推理卻引出了一連串和歐式幾何內容不同的新的幾何命題。而黎曼幾何則是假設直線外過一點沒有直線與之平行。直觀上來說，就是空間的截面曲率不同，羅氏幾何的小於0，歐式空間等於0，黎曼幾何的大於0。

非歐幾何的產生與發展，在客觀上對研究了2000多年的第五公設作了總結，它引起了人們對數學本質的深入探討，深刻影響著現代自然科學、現代數學和數學哲學的發展。但值得注意的是，非歐幾何與歐式幾何沒有誰對誰錯的問題，他們只是不同的公理體系下的不同幾何學，有各自適用的範圍，只是非歐幾何可能更適合去描述我們所在的這個真實世界。

首先要明白什麼是歐氏幾何，也就是歐幾里得幾何。

歐幾里得空間就是平直空間，空頭暈眼間曲率為0，就是我們比較直觀能夠理解的空間。

提起幾何，離不開第五公設。

歐幾里德在《幾何原本》中有五個公設：

1.過兩點能作且只能作一直線；2.線段(有限直線)可以無限地延長；3.以任一點為圓心,任意長為半徑,可作一圓；4.凡是直角都相等；5.同平面內一條直線和另外兩條直線相交，若在直線同側的兩個內角之和小於兩直角，則這兩條直線經無限延長後在這一側一定相交。

大家可以發現，第五條公設比較長，也比較複雜，沒有前四條簡明。第五公設，其實就是我們在中學時熟知的“過直線外一點，有且僅有一條直線與該直線平行。”

有人就想能不能透過前四條公設把第五公設推匯出來，歷史上好多人都就行了這個工作，可是沒能成功。於是數學家就另闢蹊徑，用反證法。

尼古拉.羅巴切夫斯基（1793-1856）假設過直線外一點至少有兩條直線和已知直線平行，結果發現了一系列匪夷所思，但邏輯上自恰的結論。羅氏幾何後來被稱為雙曲幾何。格奧爾格.黎曼假設過直線外一點不存在已知直線的平行線，這種幾何被稱為橢圓幾何。