解釋這個問題，需要先了解數的推廣過程。
如圖，顯然乘法的分配律在自然數中是成立的。a（b+c）=ab+ac。
在自然數中，加法和乘法總是能無礙執行，但是減法和除法並不總是可行。
比如b-a，只有當b＞a時，才有意義。而
b＜a時，是沒有意義的，小數減不了大數。為了消除這個限制，為了使b＜a時，也有意義，所以引進了符號-1、-2、-3......
並定義b-a=-（a-b）。
這保證了減法能在正整數和負整數範圍內無限制地執行。
那麼乘法呢？應該怎樣定義負數乘法的規則。
（-1）（-1）=？
負一乘以負一，應該等於多少？等於一，還是等於負一？
在邏輯上，等於-1也是可以的。
但是，如果讓（-1）（-1）=-1，
由乘法的分配律a（b+c）=ab+ac，令a=-1，b=1，c=-1，等到的結果a（b+c）=-1（1-1）=-1-1=-2，
而另一方面實際上有
-1（1-1）＝-1•0=0。
乘法的分配律將不在成立。
為了保持分配律，保持原有規則，保持乘法運算在負數中，能無礙的執行下去。所以才定義負數的乘法規則（-1）（-1）=1。
還有對分數的引進，及分數的運算規則（這就不說了）……
為了消除對減法的限制，引進了負整數；為了消除對除法的限制，引進了分數（有理數）。而它們的運算規則，（-1）（-1）=1，a/c+c/d=（ad+bc）/bd，a/b•c/d=ac/bd等等規則，是人為規定，創造出來的。創造它們為的就是保持自然數的算術基本規律，在更大的範圍內繼續成立。
這就是數學推廣過程的一個特徵。引進新的符號，擴充一個範圍，使在原來範圍內成立的規則，在更大的範圍內繼續成立。由自然數推廣到整數，到有理數，到無理數，等等。它們的運演算法則，都需要保持算術的交換律、結合律、分配律，這些原有的規則。要搞清楚這個先後順序。
所以，乘法的分配律，在自然數中，是顯然的，不用證明的公理。而在其他範圍內，能證明的僅僅是，在定義的基礎上，乘法的分配律保持不變。
解釋這個問題，需要先了解數的推廣過程。
如圖，顯然乘法的分配律在自然數中是成立的。a（b+c）=ab+ac。
在自然數中，加法和乘法總是能無礙執行，但是減法和除法並不總是可行。
比如b-a，只有當b＞a時，才有意義。而
b＜a時，是沒有意義的，小數減不了大數。為了消除這個限制，為了使b＜a時，也有意義，所以引進了符號-1、-2、-3......
並定義b-a=-（a-b）。
這保證了減法能在正整數和負整數範圍內無限制地執行。
那麼乘法呢？應該怎樣定義負數乘法的規則。
（-1）（-1）=？
負一乘以負一，應該等於多少？等於一，還是等於負一？
在邏輯上，等於-1也是可以的。
但是，如果讓（-1）（-1）=-1，
由乘法的分配律a（b+c）=ab+ac，令a=-1，b=1，c=-1，等到的結果a（b+c）=-1（1-1）=-1-1=-2，
而另一方面實際上有
-1（1-1）＝-1•0=0。
乘法的分配律將不在成立。
為了保持分配律，保持原有規則，保持乘法運算在負數中，能無礙的執行下去。所以才定義負數的乘法規則（-1）（-1）=1。
還有對分數的引進，及分數的運算規則（這就不說了）……
為了消除對減法的限制，引進了負整數；為了消除對除法的限制，引進了分數（有理數）。而它們的運算規則，（-1）（-1）=1，a/c+c/d=（ad+bc）/bd，a/b•c/d=ac/bd等等規則，是人為規定，創造出來的。創造它們為的就是保持自然數的算術基本規律，在更大的範圍內繼續成立。
這就是數學推廣過程的一個特徵。引進新的符號，擴充一個範圍，使在原來範圍內成立的規則，在更大的範圍內繼續成立。由自然數推廣到整數，到有理數，到無理數，等等。它們的運演算法則，都需要保持算術的交換律、結合律、分配律，這些原有的規則。要搞清楚這個先後順序。
所以，乘法的分配律，在自然數中，是顯然的，不用證明的公理。而在其他範圍內，能證明的僅僅是，在定義的基礎上，乘法的分配律保持不變。