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  • 1 # 涵mm962

    二次非齊次微分方程的一般解法

      一般式是這樣的ay""+by"+cy=f(x)

      第一步:求特徵根

      令ar²+br+c=0,解得r1和r2兩個值,(這裡可以是複數,例如(βi)²=-β²)

      第二步:通解

      1、若r1≠r2,則y=C1*e^(r1*x)+C2*e^(r2*x)

      2、若r1=r2,則y=(C1+C2x)*e^(r1*x)

      3、若r1,2=α±βi,則y=e^(αx)*(C1cosβx+C2sinβx)

      第三步:特解

      f(x)的形式是e^(λx)*P(x)型,(注:P(x)是關於x的多項式,且λ經常為0)

      則y*=x^k*Q(x)*e^(λx) (注:Q(x)是和P(x)同樣形式的多項式,例如P(x)是x²+2x,則設Q(x)為ax²+bx+c,abc都是待定係數)

      1、若λ不是特徵根 k=0 y*=Q(x)*e^(λx)

      2、若λ是單根 k=1 y*=x*Q(x)*e^(λx)

      3、若λ是二重根 k=2 y*=x²*Q(x)*e^(λx)(注:二重根就是上面解出r1=r2=λ)

      f(x)的形式是e^(λx)*P(x)cosβx或e^(λx)*P(x)sinβx

      1、若α+βi不是特徵根,y*=e^λx*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)

      2、若α+βi是特徵根,y*=e^λx*x*Q(x)(Acosβx+Bsinβx)(注:AB都是待定係數)

      第四步:解特解係數

      把特解的y*"",y*",y*都解出來帶回原方程,對照係數解出待定係數。

      最後結果就是y=通解+特解。

      通解的係數C1,C2是任意常數。

      拓展資料:

      

      微分方程

      

      微分方程指描述未知函式的導數與自變數之間的關係的方程。微分方程的解是一個符合方程的函式。而在初等數學的代數方程,其解是常數值。

      

      高數常用微分表

      

      唯一性

      

      存在定一微 分程及約束條件,判斷其解是否存在。唯一性是指在上述條件下,是否只存在一個解。針對常微分方程的初值問題,皮亞諾存在性定理可判別解的存在性,柯西-利普希茨定理則可以判別解的存在性及唯一性。針對偏微分方程,柯西-克瓦列夫斯基定理可以判別解的存在性及唯一性。 皮亞諾存在性定理可以判斷常微分方程初值問題的解是否存在。

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