解：正三稜錐P-ABC，稜長a
設底面三角形ABC的AB、BC、CA邊中點為D、E、F
易得三角形BPF、AEP、CDP全等，BF、CD、AE交於O，且PO⊥平面ABC
任選PO上一點O"，易證明O"到PD、PE、PF的距離相等
當OO"等於O"到PD、PE、PF的距離距離時，恰好就是正三稜錐的內切球半徑r
OF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6
PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2
PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3
O到三個側面的距離=1/3
設OO"=r
(√3/3-r):√3/3=r:(1/3)
r=OO"=(3-√3)a/6
驗證：O"到PF的距離O"H=OO"
設OG⊥PF，O"H//OG
sin∠OFP=OP/PF=√6/3,OG=OF*sin∠OFP=a/3
(PO-r)/PO=O"H/OG
O"H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3
=(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r
所以，正三稜錐內切球的半徑r=a(3-√3)/6
PO=√3/3
解：正三稜錐P-ABC，稜長a
設底面三角形ABC的AB、BC、CA邊中點為D、E、F
易得三角形BPF、AEP、CDP全等，BF、CD、AE交於O，且PO⊥平面ABC
任選PO上一點O"，易證明O"到PD、PE、PF的距離相等
當OO"等於O"到PD、PE、PF的距離距離時，恰好就是正三稜錐的內切球半徑r
OF=OE=OD=(1/3)AE=(1/3)CD=(1/3)BF=a√6/6
PD=PE=PF=AE=CD=BF=a√2/2
PO=√(a^2/2-a^2/6)=√(a^2/3)=a√3/3
O到三個側面的距離=1/3
設OO"=r
(√3/3-r):√3/3=r:(1/3)
r=OO"=(3-√3)a/6
驗證：O"到PF的距離O"H=OO"
設OG⊥PF，O"H//OG
sin∠OFP=OP/PF=√6/3,OG=OF*sin∠OFP=a/3
(PO-r)/PO=O"H/OG
O"H=(PO-r)*OG/PO=(√3/3-1/2+√3/6)a/√3
=(√3-1)a/(2√3)=(3-√3)a/6=r
所以，正三稜錐內切球的半徑r=a(3-√3)/6
PO=√3/3