回覆列表
-
1 # 科學探秘頻道
-
2 # 學霸數學
微積分可以順利解釋這個資料，這裡展示三種比較簡單的方法，所用的知識都是積分知識，大家有興趣的可以研究其它方法：
方法1祖 -
3 # 艾伯史密斯
答：球體積裡面的4/3並沒有特別的地方，只是這個體積公式的係數而已，就像三角形面積公式
“S=1/2*底*高”中的1/2一樣。
我們來看半徑為r，關於圓的幾個公式：
圓的周長L=2πr；
圓的面積S=πr^2;
球的表面積S=4πr^2；
球的體積V=(4/3)πr^3;
學過微積分的話很容易看出，圓的周長對r積分就是圓的面積，球的表面積對r積分就是球的體積，公式為（C為常數）：
∫2πrdr=πr^2+C；
∫4πr^2=(4/3)πr^3+C；
這其中有著深層的聯絡，比如一個球體，我們在球面取一個二維曲面三角形，當曲面三角形的邊長無限小時，曲面三角形近似為平面三角形，三角形的頂點連線球心，就得到一個三稜錐。
三稜錐的高就是r，三稜錐的體積為dV=（1/3）r*dS，那麼對整個球面積分，就得到了球的體積：
V=∫（1/3）rdS=(1/3)r*(4πr^2)=(4/3)πr^3；
或者我們也可以規規矩矩地建立直角座標系，然後得到球的體積公式，如下圖：
但是這個看不出公式中係數的意義；又或者我們對比高為R，圓錐和圓柱的體積公式，如下圖：
可以看出半球的體積，正好處於圓錐體積和圓柱體積之間，但這僅僅是一個係數而已，係數4/3確實沒有特別的地方。
-
4 # 揮灑FLY
發現一個有意思的情況
圓：C=πd、S=1/2*Cr
球：S=πd²、V=1/3*Sr
很有規律性
這個體積公式沒什麼特別的，微積分直接就可以計算出來：
思想就是把球假想平行切割成無數份，然後一份一份體積加起來就在球的體積了。上面的圖就是示意圖和積分計算過程。
如果是求球的表面積，更簡單了。知道了球的體積，直接對半徑求導就行了：如下圖：
好了，就是這樣，沒有為什麼就是3/4之說，因為它就是這樣，就像1+1=2。