第一部分：導數與定積分互為逆運算

第二部分：用反導數計算定積分

對於圖為曲線的連續函式y=f(x)，x的每個值都有一個對應的面積函式A(x)，表示曲線下面0到x之間的面積。

在x和x+h之間的曲線下面積可以透過找到0和x+h之間的面積，然後減去0和x之間的面積來計算，換句話說，這個“紅色帶”的面積將是A(x+h)-A(x)。

還有另一種方法來估計同一條“紅色帶”的面積。如上圖所示，h*f(x)是矩形的面積，該矩形的面積與此條“紅色帶”的大小大致相同：

如果加上右上角紅色曲線三角部分Excess，則可以準確表述為：

推匯出：

h|f(x+h)-f(x)|為右上角小長方形的面積。|Red Excess|<=小長方形面積

也就是：

當h→0上，上式右值→0，相應的左值→0。所以有

也就是f(x) = A′(x)

3.1 準備知識

3.1.1 介值定理

介值定理，又名中間值定理，是閉區間上連續函式的性質之一。在數學分析中，介值定理表明，如果定義域為[a，b]的連續函式f，那麼在區間內的某個點，它可以在f（a）和f（b）之間取任何值，也就是說，介值定理是在連續函式的一個區間內的函式值肯定介於最大值和最小值之間。

3.1.2 積分估值定理

3.1.3 積分中值定理

積分中值定理的幾何解釋：

3.2 公式推導導數與定積分互為逆運算

推導微積分基本定理的第二部分：

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